Tentukan penyelesaian persamaan diferensial variable terpisah ini[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{{4x}^{2} +

Berikut ini adalah pertanyaan dari ghost222 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial variable terpisah ini $\frac{dy}{dx} = \frac{{4x}^{2} + 9 }{ {2x}^{2} + 1 }$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Penyelesaian dari $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{4x^2+9}{2x^2+1} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{y=2x+\frac{7}{\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x)+C}}$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}$

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :

$(i)~\displaystyle{\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C},~~~dengan~C=konstanta$

$(ii)~\displaystyle{\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx}$

$(iii)~\displaystyle{\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx}$

$(iv)~\displaystyle{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)}$

Untuk fungsi invers trigonometri, dapat menggunakan rumus berikut :

$(i)~\displaystyle{\int\limits {\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \, dx=arcsinx+C}$

$(ii)~\displaystyle{\int\limits {-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \, dx=arccosx+C}$

$(iii)~\displaystyle{\int\limits {\frac{1}{x^2+1}} \, dx=arctanx+C}$

DIKETAHUI

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{4x^2+9}{2x^2+1} }$

DITANYA

Tentukan penyelesaiannya.

PENYELESAIAN

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{4x^2+9}{2x^2+1} }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{4x^2+2+7}{2x^2+1} }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{2(2x^2+1)}{2x^2+1}+\frac{7}{2x^2+1} }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=2+\frac{7}{2x^2+1}~~~...integralkan~kedua~ruas }$

$\displaystyle{\int\limits {\frac{dy}{dx}} \, dx =\int\limits {\left ( 2+\frac{7}{2x^2+1} \right )} \, dx }$

$\displaystyle{y=\int\limits {2} \, dx+\int\limits {\frac{7}{2x^2+1}} \, dx }$

$\displaystyle{y=2x+\int\limits {\frac{7}{(\sqrt{2}x)^2+1}} \, dx }$

$---------------$

Misal :

$u=\sqrt{2}x$

$du=\sqrt{2}dx$

$---------------$

$\displaystyle{y=2x+\int\limits {\frac{7}{u^2+1}} \, \frac{du}{\sqrt{2}} }$

$\displaystyle{y=2x+\frac{7}{\sqrt{2}}\int\limits {\frac{1}{u^2+1}} \, du }$

$\displaystyle{y=2x+\frac{7}{\sqrt{2}}arctanu+C}$

$\displaystyle{y=2x+\frac{7}{\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x)+C}$

KESIMPULAN

Penyelesaian dari $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{4x^2+9}{2x^2+1} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{y=2x+\frac{7}{\sqrt{2}}arctan(\sqrt{2}x)+C}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30251199
Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30205263
Mengitung luas daerah kurva : yomemimo.com/tugas/30113906

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 09 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah