[tex]x\frac{dy}{dx} - y = x^{3} cos x[/tex] Jika diberikan y=0

Berikut ini adalah pertanyaan dari AkbarRamadhan27 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

$x\frac{dy}{dx} - y = x^{3} cos x$ Jika diberikan y=0 bila x=π

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

solusi khusus : $x^2sinx+xcosx-y-x=0$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Diketahui :

$x\frac{dy}{dx}-y=x^3cosx,~y=0~saat~x=\pi$

Ditanya :

tentukan solusi PD

Penyelesaian :

$x\frac{dy}{dx}-y=x^3cosx\\\\x\frac{dy}{dx}=\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{x^3cosx+y}{x}\\\\xdy=(x^3cosx+y)dx\\\\(x^3cosx+y)dx-xdy=0\\\\\\PD~bentuk~M(x,y)+N(x,y)=0~\to~cek~eksak~atau~tidak\\\\\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=1\\\\\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=-1\\$

$\frac{\vartheta M}{\vartheta y}\neq \frac{\vartheta N}{\vartheta x}~~\to~PD~tidak~eksak$

cari faktor integrasi $e^{\int {P(x)} \, dx}$ agar PD menjadi eksak

$P(x)=\frac{1}{N}(\frac{\vartheta M}{\vartheta y}-\frac{\vartheta N}{\vartheta y})\\\\P(x)=\frac{1}{-x}(1-(-1))\\\\P(x)=-\frac{2}{x}\\\\\\faktor~integrasinya~:\\\\e^{\int {P(x)} \, dx}\\\\=e^{\int {-\frac{2}{x}} \, dx}\\\\=e^{-2lnx}\\\\=e^{lnx^{-2}}\\\\=x^{-2}\\\\=\frac{1}{x^2}$

kalikan faktor integrasi ke pers. sebelumnya :

$(x^3cosx+y)dx-xdy=0~~~~~kalikan~\frac{1}{x^2}\\\\(xcosx+\frac{y}{x^2})dx-\frac{1}{x}=0$

solusinya adalah :

$f(x,y)=\int {M(x,y)} \, dx+\phi(y)\\\\f(x,y)=\int {xcosx+\frac{y}{x^2}} \, dx+\phi(y)\\\\f(x,y)=xsinx+cosx-\frac{y}{x}+\phi(y)$

fungsi $\phi(y)$ dapat dicari dengan menurunkan kembali fungsi f(x,y) terhadap y

$\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta y}=N(x,y)\\\\-\frac{1}{x}+\phi'(y)=-\frac{1}{x}\\\\\phi'(y)=0\\\\\int {\phi'(y)} \, dy=\int {0} \, dy\\\\\phi(y)=C$