integral lipat 3 mohon pencerahannya kak

Berikut ini adalah pertanyaan dari armandadlwn pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Integral lipat 3
mohon pencerahannya kak

integral lipat 3 mohon pencerahannya kak

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai integral lipat tiga tersebut adalah 4/3.
 

Pembahasan

Integral Lipat Tiga

Kita akan menghitung integral lipat tiga untuk $f(x,y,z)=2xyz$ dalam daerah pejal $S$ yang dibatasi oleh tabung $z=2-\frac{1}{2}x^2$ dan bidang-bidang $z=0$ , $y=x$ , dan $x=0$ .

Pada penyelesaian di bawah ini, diberikan dua alternatif cara.

Cara pertama

Daerah pejal $S$ adalah suatu himpunan $z$ sederhana, dan proyeksi $S_{xy}$ pada bidang $xy$ adalah $y$ sederhana, juga $x$ sederhana.

Batas-batas untuk $z$ adalah $z = 0$ dan $z = 2-\frac{1}{2}x^2$ .
Batas-batas untuk $y$ adalah $y=0$ (karena terbatas pada bidang $x=0$ ), dan $y = x$ .
Sedangkan untuk $x$ , batas bawahnya adalah $x = 0$ , dan batas atasnya ditentukan dengan:

$\begin{aligned}z&=2-\frac{1}{2}x^2\\(z=0)\to0&=2-\frac{1}{2}x^2\\0&=4-x^2\\x^2&=4\ \therefore\ x=\bf2\end{aligned}$

Batas $x=-2$ tidak berlaku dalam hal ini.

Maka:

$\begin{aligned}&\iiint\limits_{S}f(x,y,z)\,dV\\{=\ }&\iiint\limits_{S}2xyz\,dV\\{=\ }&\int_0^2\int_0^x\int_0^{2-\frac{1}{2}x^2}2xyz\,dz\,dy\,dx\\{=\ }&\int_0^2\int_0^x\Big[xyz^2\Big]_{z=0}^{z=2-\frac{1}{2}x^2}\,dy\,dx\\{=\ }&\int_0^2\int_0^x\left(xy\left(2-\frac{1}{2}x^2\right)^2-0\right)\,dy\,dx\\{=\ }&\int_0^2\int_0^x\left(4xy-2x^3y+\frac{1}{4}x^5y\right)\,dy\,dx\\{=\ }&\int_0^2\left[2xy^2-x^3y^2+\frac{1}{8}x^5y^2\right]_{y=0}^{y=x}\,dx\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\int_0^2\left(2x^3-x^5+\frac{1}{8}x^7\right)dx\\{=\ }&\left[\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{64}x^8\right]_0^2\\{=\ }&\frac{16}{2}-\frac{64}{6}+\frac{256}{64}\\{=\ }&8-\frac{32}{3}+4\\{=\ }&12-10\,\frac{2}{3}\\{=\ }&\boxed{\ \bf\frac{4}{3}\ }\end{aligned}$
..........................................

Cara kedua

Dari sudut pandang lain, daerah pejal $S$ adalah suatu himpunan $y$ sederhana, yang diproyeksikan ke dalam bidang $S_{xz}$ .

Dalam hal ini, batas untuk $y$ sama dengan cara pertama, yaitu $0$ hingga $x$ . Batas untuk $z$ juga sama, yaitu $0$ hingga $2$ . Sedangkan batas atas untuk $x$ menggunakan invers dari $z(x)$ .

$\begin{aligned}z&=2-\frac{1}{2}x^2\\2z&=4-x^2\\x^2&=4-2z\\\therefore\ x&=\sqrt{4-2z}\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}&\iiint\limits_{S}f(x,y,z)\,dV\\{=\ }&\iiint\limits_{S}2xyz\,dV\\{=\ }&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-2z}}\int_0^x{2xyz}\,dy\,dx\,dz\\{=\ }&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-2z}}\Big[xy^2z\Big]_{y=0}^{y=x}\,dx\,dz\\{=\ }&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-2z}}x^3z\,dx\,dz\\{=\ }&\frac{1}{4}\int_0^2\Big[x^4z\Big]_{x=0}^{x=\sqrt{4-2z}}\,dz\\{=\ }&\frac{1}{4}\int_0^2\left(\sqrt{4-2z}\right)^4z\,dz\\{=\ }&\frac{1}{4}\int_0^2\left(4-2z\right)^2z\,dz\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\frac{1}{4}\int_0^2\left(16z-16z^2+4z^3\right)dz\\{=\ }&\frac{1}{4}\left[8z^2-\frac{16}{3}z^3+z^4\right]_0^2\\{=\ }&\frac{1}{4}\left(32-\frac{128}{3}+16\right)\\{=\ }&\frac{1}{4}\left(48-\frac{128}{3}\right)\\{=\ }&12-\frac{32}{3}\\{=\ }&12-10\,\frac{2}{3}\\{=\ }&\boxed{\ \bf\frac{4}{3}\ }\end{aligned}$
$\blacksquare$