Mohon bantuannya kak :))

Berikut ini adalah pertanyaan dari FiorellaBellatrix pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mohon bantuannya kak :))
Mohon bantuannya kak :))

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai~dari~\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}~adalah~e^4.

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

\lim_{x \to c} f(x)=f(c)

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu  \frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty} maka harus dilakukan manipulasi aljabar atau menggunakan aturan l'hospital. Dengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0

.

DIKETAHUI

\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}

.

DITANYA

Tentukan nilai limit dari fungsi tersebut

.

PENYELESAIAN

Misal :

\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}=A\\\\ln[\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}]=lnA\\\\\lim_{x \to 0} ln(x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{3ln(x+e^{\frac{x}{3}})}{x}=lnA~~~~~...substitusi~x=0\\\\\frac{3ln(0+e^{\frac{0}{3}})}{0}=lnA\\\\\frac{3ln(1)}{0}=lnA\\\\\frac{0}{0}=lnA\\

Karena substitusi langsung hasilnya \frac{0}{0} maka gunakan l'hospital

\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}=A\\\\ln[\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}]=lnA\\\\\lim_{x \to 0} ln(x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{3ln(x+e^{\frac{x}{3}})}{x}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[3ln(x+e^{\frac{x}{3}})]}{\frac{d}{dx}[x]}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3(1+\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}})}{(x+e^\frac{x}{3})}}{1}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{3(1+\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}})}{x+e^\frac{x}{3}}=lnA\\

\\\frac{3(1+\frac{1}{3}e^{\frac{0}{3}})}{0+e^\frac{0}{3}}=lnA\\\\\frac{3(\frac{4}{3})}{1}=lnA\\\\4=lnA\\\\A=e^4\\

.

KESIMPULAN

Nilai~dari~\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}~adalah~e^4.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Limit fungsi : yomemimo.com/tugas/29460067
  2. Limit fungsi : yomemimo.com/tugas/28929865
  3. Limit fungsi : yomemimo.com/tugas/28942347

.

DETAIL JAWABAN

Mapel: Matematika

Kelas : 11

Bab : Limit Fungsi Aljabar

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Kata Kunci : limit, fungsi, l'hospital

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 14 Aug 20