Bab turunan Fungsi f(x) = sin (2x - [tex]\frac{\pi }{2}[/tex]) untuk

Berikut ini adalah pertanyaan dari Syubbana pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bab turunanFungsi f(x) = sin (2x - $\frac{\pi }{2}$ ) untuk 0 ≤ x ≤ 2π mencapai maksimum pada saat x = ....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai x yang membuat fungsi $f(x)=sin(2x-\frac{\pi}{2})~untuk~0\leq x\leq 2\pi$ mencapai nilai maksimum adalah $\boldsymbol{\frac{\pi}{2}~atau~\frac{3\pi}{2}}.$

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Salah satu fungsi dari turunan adalah menentukan nilai minimum/maksimum dari suatu fungsi. Dimana suatu fungsi akan memiliki nilai minimum/maksimum pada saat :

$f'(x)=0$

dengan :

f'(x) = turunan pertama fungsi.

Dari $f'(x)=0$ kita akan memperolehtitik titik stasioner, misal x = a. Untuk menentukan apakah titik tersebut menyebabkan fungsi bernilai minimum atau maksimum dapat kita gunakan uji turunan kedua.

Jika $f'(x)>0$ maka x = a menyebabkan fungsi bernilai minimum.
Jika $f'(x)$ maka x = a menyebabkan fungsi bernilai maksimum.
Jika $f'(x)=0$ maka x = a merupakan titik belok fungsi.

DIKETAHUI

$f(x)=sin(2x-\frac{\pi}{2}),~~0\leq x\leq 2\pi$

DITANYA

Tentukan nilai x saat fungsi mencapai maksimum.

PENYELESAIAN

$f(x)=sin(2x-\frac{\pi}{2})$

$f(x)=sin[-(\frac{\pi}{2}-2x)]$

$f(x)=-sin(\frac{\pi}{2}-2x)$

$f(x)=-cos2x$

> Cari turunan fungsi f(x)

Rumus turunan untuk fungsi trigonometri adalah :

$y=sinax~~\to~~y'=acosax$

$y=cosax~~\to~~y'=-asinax$

$f(x)=-cos2x$

$f'(x)=-(-2)sin2x$

$f'(x)=2sin2x$

> Cari titik stationer menggunakan turunan pertama

$f'(x)=0$

$2sin2x=0$

$sin2x=0$

$sin2x=sin0$

$2x=0+K\times2\pi$

$x=K\times\pi$

$K=0~\to~x=0\times\pi=0$

$K=1~\to~x=1\times\pi=\pi$

$K=2~\to~x=2\times\pi=2\pi$

$K=3~\to~x=3\times\pi=3\pi~(tidak~memenuhi)$

Atau :

$sin2x=sin0$

$2x=(\pi-0)+K\times2\pi$

$x=\frac{\pi}{2}+K\times\pi$

$K=0~\to~x=\frac{\pi}{2}+0\times\pi=\frac{\pi}{2}$

$K=1~\to~x=\frac{\pi}{2}+1\times\pi=\frac{3\pi}{2}$

$K=2~\to~x=\frac{\pi}{2}+2\times\pi=\frac{5\pi}{2}~(tidak~memenuhi)$

Diperoleh titik stationer $x=0,~x=\frac{\pi}{2},~x=\pi,~x=\frac{3\pi}{2},~x=2\pi$

> Cek uji turunan kedua.

$f'(x)=2sin2x$

$f''(x)=2\times2cos2x$

$f''(x)=4cos2x$

Kita substitusi titik titik stasioner ke fungsi turunan kedua.

$x=0~\to~f''(0)=4cos(2\times0)=4~(> 0)$

$x=\frac{\pi}{2}~\to~f''(\frac{\pi}{2})=4cos(2\times\frac{\pi}{2})=-4~(< 0)$

$x=\pi~\to~f''(\pi)=4cos(2\times\pi)=4~(> 0)$

$x=\frac{3\pi}{2}~\to~f''(\frac{3\pi}{2})=4cos(2\times\frac{3\pi}{2})=-4~(< 0)$

$x=2\pi~\to~f''(2\pi)=4cos(2\times2\pi)=4~(> 0)$

Karena nilai maksimum terjadi pada saat f''(a) < 0, maka nilai maksimum fungsi pada saat $x=\frac{\pi}{2}~atau~x=\frac{3\pi}{2}$ .

KESIMPULAN

Nilai x yang membuat fungsi $f(x)=sin(2x-\frac{\pi}{2})~untuk~0\leq x\leq 2\pi$ mencapai nilai maksimum adalah $\boldsymbol{\frac{\pi}{2}~atau~\frac{3\pi}{2}}.$

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari ketinggian maksimum bola : yomemimo.com/tugas/34988881
Mencari nilai minimum fungsi : yomemimo.com/tugas/29381131
Mencari nilai maksimum fungsi : yomemimo.com/tugas/33038452

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Turunan

Kode Kategorisasi: 11.2.9

Kata Kunci : turunan, maksimum, uji turunan kedua, titik stasioner.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 21 Jan 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah