Tolong jawab salah satu saja gapapa tp jelaskan yah.. Syarat : -

Berikut ini adalah pertanyaan dari AdindaAsa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong jawab salah satu saja gapapa tp jelaskan yah..

Syarat :
- No copas
- No spam

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

(a) Fungsi $\psi =Ae^{mx},~~A,m~konstanta$ tidak memiliki nilai minimum maupun nilai maksimum.
(b) Fungsi $U(r)=4e\left [ \left ( \frac{\sigma }{r} \right )^{12}-\left ( \frac{\sigma }{r} \right )^{6} \right ],~~e,\sigma~konstanta$ hanya memiliki nilai minimum di $\boldsymbol{(-\sigma\sqrt[6]{2},-e)~dan~(\sigma\sqrt[6]{2},-e)}$ .

Fungsi $(c)~\psi=\frac{1}{2}(1+sin\theta)+\sqrt{2}cos\theta$ memiliki nilai maksimum di $\boldsymbol{[(19,47+K\times180)^0,2]~K~genap}$ dan nilai minimum di $\boldsymbol{[(19,47+K\times180)^0,-1]~K~ganjil}$ .

PEMBAHASAN

Salah satu fungsi dari turunan adalah menentukan nilai minimum/maksimum dari suatu fungsi. Dimana terjadi pada saat $f'(x)=0$

Dari $f'(x)=0$ kita akan memperolehtitik titik stasioner, misal x = a. Untuk menentukan apakah titik tersebut menyebabkan fungsi bernilai minimum/maksimum dapat kita gunakan uji turunan kedua.

Jika f''(a) > 0, maka x = a menyebabkan fungsi minimum.
Jika f''(a) < 0, maka x = a menyebabkan fungsi maksimum.

DIKETAHUI

$(a)~\psi =Ae^{mx},~~A,m~konstanta$

$(b)~U(r)=4e\left [ \left ( \frac{\sigma }{r} \right )^{12}-\left ( \frac{\sigma }{r} \right )^{6} \right ],~~e,\sigma~konstanta$

$(c)~\psi=\frac{1}{2}(1+sin\theta)+\sqrt{2}cos\theta$

DITANYA

Tentukan apakah fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum.

PENYELESAIAN

Soal a

$\psi =Ae^{mx}$

$\psi' =mAe^{mx}$

Cari titik stasioner.

$\psi' =0$

$mAe^{mx}=0$

$e^{mx}=\frac{0}{mA}$

$e^{mx}=0$

$e^{mx}$ tidak mungkin bernilai nol ⇒ tidak ada nilai x yang memenuhi.

Maka fungsi tidak memiliki titik stasioner ⇒ tidak memiliki nilai maks/min.

Soal b

$U(r)=4e\left [ \left ( \frac{\sigma }{r} \right )^{12}-\left ( \frac{\sigma }{r} \right )^{6} \right ]$

$U(r)=4e\left [\sigma^{12}r^{-12}-\sigma^{6}r^{-6} \right ]$

$U'(r)=4e\left [-12\sigma^{12}r^{-13}+6\sigma^{6}r^{-7} \right ]$

$U''(r)=4e\left [156\sigma^{12}r^{-14}-42\sigma^{6}r^{-8} \right ]$

Titik stasioner:

$U'(r)=0$

$4e\left [-12\sigma^{12}r^{-13}+6\sigma^{6}r^{-7} \right ]=0$

$-12\sigma^{12}r^{-13}+6\sigma^{6}r^{-7}=0$

$\sigma^{6}r^{-7}=2\sigma^{12}r^{-13}$

$\frac{r^{-7}}{r^{-13}}=\frac{2\sigma^{12}}{\sigma^{6}}$

$r^6=2\sigma^{6}$

$r=\pm\sqrt[6]{2\sigma^{6}}$

$r=\pm\sigma\sqrt[6]{2}$

Uji turunan kedua

$U''(\pm\sigma\sqrt[6]{2})=4e\left [156\sigma^{12}(\pm\sigma\sqrt[6]{2})^{-14}-42\sigma^{6}(\pm\sigma\sqrt[6]{2})^{-8} \right ]$

$U''(\pm\sigma\sqrt[6]{2})=4e\left [156\sigma^{-2}(\sqrt[6]{2})^{-14}-42\sigma^{-2}(\sqrt[6]{2})^{-8} \right ]$

$U''(\pm\sigma\sqrt[6]{2})=36\times2^{\frac{2}{3}}e\sigma^{-2}$

Karena $\sigma$ berpangkat genap, maka hasil dari $36\times2^{\frac{2}{3}}e\sigma^{-2}> 0$ ⇒ fungsi bernilai minimum. Nilai minimumnya :

$U(\pm\sigma\sqrt[6]{2})=4e\left [ \left ( \frac{\sigma }{(\pm\sigma\sqrt[6]{2})} \right )^{12}-\left ( \frac{\sigma }{(\pm\sigma\sqrt[6]{2})} \right )^{6} \right ]$