(+50) KuMat - Kuis Matematika Materi: Pemetaan/Fungsi, Komposisi Fungsi Misalkan [tex]f(x)[/tex] mendefinisikan

Berikut ini adalah pertanyaan dari henriyulianto pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

(+50) KuMat - Kuis MatematikaMateri: Pemetaan/Fungsi, Komposisi Fungsi

Misalkan $f(x)$ mendefinisikan pemetaan
$\large\text{$\begin{aligned}f:\{1,2,3,4,5\}\to\{1,2,3,4,5\}\end{aligned}$}$
Temukan banyaknya fungsi $f(x)$ yang memenuhi
$\large\text{$\begin{aligned}f(f(x))=f(f(f(x)))\end{aligned}$}$
untuk semua $x \in \{1,2,3,4,5\}$ .

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

$\text{sifat yang dimiliki $f(x)$ :}\\\text{1) Bersifat $1-1$ (bijektif)}\\2) f(x) = f^{-1}(x)\\3) \text{Gradien konstan }(m=1)\\ 4)\text{Bersifat idempoten $(f(f(x)) = f(x) )$}\\\text{yang memenuhi kriteria ini adalah :}\\f(x) = x \cup (f(x) = |x|, x > 0) \cup \\ f(x) = \dfrac{5-1}{\pi} \sin^{-1}\left(\sin\left(\dfrac{\pi\left(x-\dfrac{5+1}{2}\right)}{5-1}\right)\right)+\dfrac{5+1}{2} \\f(x)= \dfrac{4}{\pi} \sin^{-1}\left(\sin\left(\dfrac{\pi\left(x-3\right)}{4}\right)\right)+3 \\$

$1)f_1(x) = x \to f_1(f_1(x)) = f_1(x) = x, f_1(f_1(f_1(x))) = f(f_1(x)) = f_1(x)\\2)f_2(x) = |x| \to f_2(f_2(x)) = f_2(|x|) =| |x|| =|x| = f_2(x) ,\\ f_2(f_2(f_2(x))) = f(f_2(x)) = f_2(x)\\$

$\displaystyle 3)f_3(x) = \dfrac{4}{\pi} \sin^{-1}\left(\sin\left(\dfrac{\pi\left(x-3\right)}{4}\right)\right)+3\\ f_3(x) = \left \{ {{x-8n,\quad\quad 1+8n\leq x \leq 5+8n} \atop {-x+10+8n,\quad\quad 5+8n\leq x \leq 9+8n}} \right.\\\\f_3(f_3(x))= \left \{ {{f_3(x)-8n,\quad\quad 1+8n\leq x \leq 5+8n} \atop {-f_3(x)+10+8n,\quad\quad 5+8n\leq x \leq 9+8n}} \right.\\\to f_3(f_3(x)) = f_3(x) \text{ (untuk $n = 0 \))}\\\\f_3(f_3(f_3(x))) = f_3(f_3(x)) = f_3(x)$

$\boxed{f(x) = x \cup (f(x) = |x|, x > 0)}\\\cup \boxed{\left(f(x) = \dfrac{4}{\pi} \sin^{-1}\left(\sin\left(\dfrac{\pi(x-3)}{4}\right)\right)+3, 1 \leq x \leq 5\right)}$

Catatan : sebenarnya ada banyak (mungkin jumlah nya tak hingga) fungsi f(x) yang merupakan fungsi piecewise yang akan menghasilkan fungsi linear f(x) = x (setidaknya untuk interval [1,5] ) , f₂(x) dan f₃(x) hanyalah salah satu contohnya, salah satu cara untuk menentukan fungsi piecewise tersebut bisa menggunakan deret fourier.

Catatan tambahan : f₃(x) tidak ditemukan dengan menggunakan deret fourier, melainkan dengan definisi dari fungsi arcsin.

Dengan menggunakan deret fourier :

$\displaystyle F(x) = \dfrac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{c_{1n}^2+c_{2n}^2}\cdot \cos\left(2\pi\dfrac{n}{T}\;x - \tan^{-1}\left(\frac{c_{2n}}{c_{1n}} \right)\right)\\c_{mn} = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x)\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2}(m-1)-(-1)^{m}\cdot2\pi\dfrac{n}{T}\;x \right)\; dx\\c_0 = c_{10} = \dfrac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos\left(0- (-1)\cdot 2\pi\cdot\dfrac{0}{T}\; x \right)\; dx\\$

$\displaystyle c_0 = \dfrac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \; dx,\\\\\\c_{1n} = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x)\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2}(1-1)-(-1)^1\cdot2\pi\dfrac{n}{T}\;x \right)\; dx\\c_{1n} = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x)\cdot \cos\left(2\pi\dfrac{n}{T}\;x \right)\; dx$

$\displaystyle c_{2n} = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x)\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2}(2-1)-(-1)^{2}\cdot2\pi\dfrac{n}{T}\;x \right)\; dx\\c_{2n} = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x)\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2\pi\dfrac{n}{T}\;x \right)\; dx\\c_{2n} = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x)\cdot \sin\left(2\pi\dfrac{n}{T}\;x \right)\; dx$

$\displaystyle T = 5\to c_0 = \dfrac{2}{5} \int_{0}^{5} x \; dx,c_{1n} = \dfrac{2}{5} \int_0^5 f(x)\cdot \cos\left(2\pi\dfrac{n}{5}\;x \right)\; dx,\\c_{2n} = \dfrac{2}{5} \int_0^T f(x)\cdot \sin\left(2\pi\dfrac{n}{5}\;x \right)\; dx\\c_0 = 5,c_{1n} = 0, c_{2n} = -\dfrac{5}{\pi n}$ $\displaystyle F(x) = \dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos\left(2\pi\dfrac{n}{5}\;x - \tan^{-1}\left(-\infty\right)\right)}{ n}\\ F(x) = \dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos\left(2\pi\dfrac{n}{5}\;x + \dfrac{\pi}{2}\right)}{ n}\\F(x) = \dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\;nx \right)}{ n}$