a) ZxZ adalah ring komutatif dengan elemen satuan.

b) 2ZxZ bukan ring karena operasi · bukan operasi biner.

Pembahasan

a) Dibuat ring <,+,·>.

Dengan operasi + yaitu;

Untuk sembarang (a,b),(c,d) ∈ .

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

Dengan operasi · yaitu;

Untuk sembarang (a,b),(c,d) ∈ .

(a,b) · (c,d) = (ac,bd)

Akan ditunjukkan apakah himpunan tersebut ring komutatif dengan elemen satuan

1) (,+) komutatif

Diambil sembarang (a,b),(c,d) ∈ .

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) (Terubukti)

2.  (,·) asosiatif

Diambil sembarang (a,b),(c,d),(e,f) ∈ .

[(a,b) · (c,d)] · (e,f) = (ac,bd) · (e,f) = (ace,bdf) = (a(ce),b(df)) = (a,b) · (ce,df) = (a,b) · [(c,d) · (e,f)] (Terbukti)

3. <,+,·> distributif

Diambil sembarang (a,b),(c,d),(e,f) ∈ .

Distributif kanan

[(a,b) + (c,d)] · (e,f) = (a+c,b+d) · (e,f) = ((a+c)e,(b+d)f) = ((ae)+(ce),(bf)+(df)) = (ae,bf) + (ce,df) = [(a,b) · (e,f)] + [(c,d) · (e,f)] (Terbukti)

Distributif kiri

(a,b) · [(c,d) + (e,f)] = (a,b) · (c+e,d+f) = (a(c+e),b(d+f)) = ((ac)+(ae),(bd)+(bf)) = (ac,bd) + (ae,bf) = [(a,b) · (c,d)] + [(a,b) · (e,f)] (Terbukti)

4. (,·) komutatif

Diambil sembarang (a,b),(c,d) ∈ .

(a,b) · (c,d) = (ac,bd) = (ca,db) = (c,d) · (a,b) (Terbukti)

5. elemen satuan

Diambil sembarang (a,b) ∈

Diambil (1,1) ∈

(a,b) · (1,1) = (a·1,b·1) = (1·a,1·b) = (1,1) · (a,b) (Terbukti)

Jadi, ZxZ adalah ring komutatif dengan elemen satuan.

b) Dibuat ring <,+,·>.

Dengan operasi + yaitu;

Untuk sembarang (2a,a),(2b,b) ∈ .

(2a,a) + (2b,b) = (2a+2b,a+b)

Dengan operasi · yaitu;

Untuk sembarang (2a,a),(2b,b) ∈ .

(2a,a) · (2b,b) = (4ab,ab)

Dari, definisi perkaliannya jelas bahwa (4ab,ab) ∉ .

Jadi, 2ZxZ bukan ring karena operasi · bukan operasi biner.

Pelajari lebih lanjut

Pelajari lebih lanjut tentang materi ring pada

yomemimo.com/tugas/27791199

#BelajarBersamaBrainly#SPJ1