P adalah titik minimum grafik fungsi kuadrat yang melalui (2a,0),

Berikut ini adalah pertanyaan dari sakhamahatma449 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

P adalah titik minimum grafik fungsi kuadrat yang melalui (2a,0), (4a,0), dan (0,3a) dengan a > 0. Agar jarak P ke sumbu-x lebih dari 3 satuan, maka nilai a adalaha. 0<a<3
b. 0<a<8
c. a>3
d. a>8

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai a agar jarak P ke sumbu-x lebih dari 3 satuan adalah d. a > 8.

PEMBAHASAN

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi berbentuk polinomial (suku banyak) dimana pangkat variabel tertingginya adalah 2. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax² + bx + c, a ≠ 0.

Fungsi kuadrat memiliki titik puncak pada :

$\displaystyle{(x_p,y_p)=\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a} \right ) }$

Ada 3 cara untuk menyusun fungsi kuadrat, yaitu :

Jika diketahui 3 titik yang melalui fungsi kuadrat, maka kita substitusi ke-3 titik tesebut ke dalam persamaan y = ax² + bx + c lalu kita eliminasi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.
Jika diketahui titik potong kurva terhadap sumbu x {(x - x₁) dan (x - x₂)} dan salah satu titik yang melalui kurva, maka y = A(x - x₁)(x - x₂). Dengan A suatu konstanta yang harus dicari terlebih dahulu.
Jika diketahui titik puncak kurva $(x_p,y_p)$ dan salah satu titik yang melalui kurva, maka $y=A(x-x_p)^2+y_p$ . Dengan A suatu konstanta yang harus dicari terlebih dahulu.

DIKETAHUI

Fungsi kuadrat melalui titik (2a,0), (4a,0), dan (0,3a).

Titik minimum fungsi kuadrat = titik P.

a > 0.

DITANYA

Tentukan nilai a agar jarak P ke sumbu-x lebih dari 3 satuan.

PENYELESAIAN

Karena diketahui titik potong terhadap sumbu x, kita gunakan rumus no 2, dengan :

x₁ = 2a

x₂ = 4a

(x,y) = (0,3a)

$y=A(x-x_1)(x-x_2)$

$3a=A(0-2a)(0-4a)$

$3a=8a^2A$

$\displaystyle{A=\frac{3a}{8a^2} }$

$\displaystyle{A=\frac{3}{8a} }$

Persamaan fungsi kuadratnya :

$y=A(x-x_1)(x-x_2)$

$\displaystyle{y=\frac{3}{8a}(x-2a)(x-4a) }$

$\displaystyle{y=\frac{3}{8a}(x^2-6ax+8a^2) }$

$\displaystyle{y=\frac{3}{8a}x^2-\frac{9}{4}x+3a\left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{8a}\\\\b=-\frac{9}{4} \\\\c=3a\end{matrix}\right. }$

Titik minimum P mempunyai koordinat : $\displaystyle{\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a} \right ) }$ .

Karena a> 0 dan memotong sumbu x di dua titik, maka koefisien x² bernilai positif yang menyebabkan titik minimumnya berada di bawah sumbu y. Berarti jarak P ke sumbu-x agar lebih dari 3 satuan ⇒ P < -3.

Jarak P ke sumbu-x = ordinat y, maka :

$P < -3$