1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

lim x -> π/2[tex] \frac{1 - \sin {}^{2} (x)

Berikut ini adalah pertanyaan dari Jap21 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Lim x -> π/2 \frac{1 - \sin {}^{2} (x) }{( \sin( \frac{1}{2} x) - \cos( \frac{1}{2} x) {})^{2} }

​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil~dari~\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{\left (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2} \right )^2} ~adalah~\mathbf{2}.

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

lim_{x \to c} f(x)=f(c)

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu \frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty} maka harus dilakukan manipulasi aljabar atau menggunakan aturan l'hospital. Dengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~~~~~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0

Operasi pada limit adalah sebagai berikut :

1.~lim_{x \to c} f(x)=f(c)

2.~\lim_{x \to c} kf(x)=k\lim_{x \to c} f(x)

3.~\lim_{x \to c} \left [f(x)\pm g(x) \right ]=\lim_{x \to c} f(x)\pm\lim_{x \to c} g(x)

4.~\lim_{x \to c} \left [f(x)\times g(x) \right ]=\lim_{x \to c} f(x)\times\lim_{x \to c} g(x)

5.~\lim_{x \to c} \left [\frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}

6.~\lim_{x \to c} \left [f(x)} \right ]^n=\left [\lim_{x \to c} f(x)} \right ]^n

Rumus untuk limit fungsi trigonometri :

1.~\lim_{x \to 0} \frac{sinax}{bx}=\lim_{x \to 0} \frac{tanax}{bx}=\frac{a}{b}

2.~\lim_{x \to 0} \frac{ax}{sinbx}=\lim_{x \to 0} \frac{ax}{tanbx}=\frac{a}{b}

3.\lim_{x \to a} \frac{sin(x-a)}{x-a}=\lim_{x \to a} \frac{tan(x-a)}{x-a}=1

.

DIKETAHUI

.\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{\left (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2} \right )^2}

.

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

.

PENYELESAIAN

Cek dengan substitusi langsung.

.\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{\left (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2} \right )^2}

=\frac{1-sin^2\frac{\pi}{2}}{\left (sin\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{4} \right )^2}

=\frac{1-1}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}

=\frac{0}{0}

.

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka kita perlu ubah bentuknya terlebih dahulu.

.\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{\left (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2} \right )^2}

=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}

=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{1-sinx}~~~~~~~~~~...sin2\alpha =2sin\alpha.cos\alpha

=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{1-sinx}\times\frac{1+sinx}{1+sinx}

=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(1-sin^2x)(1+sinx)}{1-sin^2x}

=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1+sinx)

=1+sin\frac{\pi}{2}

=1+1

=2

.

KESIMPULAN

Hasil~dari~\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^2x}{\left (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2} \right )^2} ~adalah~\mathbf{2}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/30977406
  2. Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/30797896
  3. Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/30308496
  4. Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/30292421

  .

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Limit Fungsi

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Kata Kunci : limit, fungsi, trigonometri.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 07 Nov 20
<< Previous Post
Next Post >>