Jawaban:

Diketahui segitiga PQR koordinat titik P(3,4), Q(-1,1), dan R(-4,-2)

Tentukan:

a. Panjang ketiga sisi segitiga PQR ?

b. Jenis segitiga PQR?

Jawaban

Pendahuluan

Soal matematika di atas merupakan materi dari rumus dari teorema phytagoras yang digunakan untuk menentukan besar vektor atau arah suatu garis dalam koordinat kartesius.

Pembahasan

Teorema phytagoras adalah teori untuk menentukan besar garis diagonal/miring terhadap garis vertikal/tegak dan garis horizontal/datar.

Rumus phytagoras secara umum digambarkan sebagai segitiga siku-siku dengan sebuah sudut istimewa yaitu sudut siku-siku sebesar 90 derajat atau sudut ∠ = 90° atau dinotasikan dengan ⊥ = 90°.

Misalnya, terdapat segitiga siku-siku ABC atau ΔABC dimana terdapat garis miring AB dengan panjang c, garis tegak AC dengan panjang b, dan garis datar BC dengan panjang a, sehingga hubungan antara ketiga garis tersebut dirumuskan dalam persamaan phytagoras berikut.

\begin{gathered}\triangle{ABC} (AB=c, AC=b, BC=a)\\c^{2} = a^{2} + b^{2} \\c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\b^{2} = c^{2} - a^{2} \\b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\\a^{2} = c^{2} - b^{2} \\a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}\end{gathered}△ABC(AB=c,AC=b,BC=a)c2=a2+b2c=a2+b2b2=c2−a2b=c2−a2a2=c2−b2a=c2−b2

Misalnya, terdapat segitiga ABC atau ∆ABC dengan ketiga sisinya yaitu sisi a yang terletak berhadapan dengan sudut A, sisi b yang terletak berhadapan dengan sudut B, dan sisi c yang terletak berhadapan dengan sudut C.

Segitiga ABC dapat berupa segitiga lancip, segitiga tumpul, atau segitiga siku-siku, yang dapat ditentukan dengan ketentuan persamaan rumus phytagoras yaitu sebagai berikut.

Jika a² + b² < c², maka ∆ABC adalah segitiga lancip di sudut C yaitu antara 0 sampai 90 derajat atau 0° < ∠C < 90°.

Jika a² + b² > c², maka ∆ABC adalah segitiga tumpul di sudut C yaitu antara 90 sampai 180 derajat atau 90° < ∠C < 180°.

Jika a² + b² = c², maka ∆ABC adalah segitiga siku-siku di sudut C yaitu sebesar 90 derajat atau ∠C = 90°.

Dengan menggunakan rumus phytagoras, segitiga istimewa berikut memiliki besar sudut-sudutnya yang tetap atau konstan terhadap perbandingan panjang sisi-sisinya yang saling berhadapan dengan sudutnya masing-masing.

Jika besar sudut segitiga berturut-turut adalah 30°, 60°, dan 90°, maka perbandingan panjang sisi segitiga berturut-turut adalah 1 : √3 : 2.

Jika besar sudut segitiga berturut-turut adalah 45°, 45°, dan 90°, maka perbandingan panjang sisi segitiga berturut-turut adalah 1 : 1 : √2.

Jika besar sudut segitiga berturut-turut adalah 37°, 53°, dan 90°, maka perbandingan panjang sisi segitiga berturut-turut adalah 3 : 4 : 5.

Penyelesaian soal materi teorema phytagoras adalah sebagai berikut.  

Diketahui:

Segitiga PQR @ P(3,4), Q(-1,1), dan R(-4,-2)

Ditanya:

a. PQ, QR, dan PR?

b. Jenis segitiga PQR?

Jawab:

a. Misalnya PQ = r, QR = p, PR = q

(px, py) = (Qx-Rx, Qy-Ry)

(px, py) = (-1-(-4), 1-(-2))

(px, py) = (3, 3)

(qx, qy) = (Px-Rx, Py-Ry)

(qx, qy) = (3-(-4), 4-(-2))

(qx, qy) = (7, 6)

(rx, ry) = (Px-Rx, Py-Ry)

(rx, ry) = (3-(-1), 4-(1))

(rx, ry) = (4, 3)

PQ = px² + py²

PQ = √(3² + 3²)

PQ = √18

PQ = 4,24

PR = qx² + qy²

PR = √(7² + 6²)

PR = √85

PR = 9,22

QR = px² + py²

QR = √(4² + 3²)

QR = √25

QR = 5

Segitiga PQR mempunyai panjang sisi-sisinya yaitu PQ = 4,24, PR = 9,22, dan QR = 5.

b. Segitiga PQR dengan sisi terpanjang PR = 9,22

PQ² + QR² = PR²

√18² + √25² = √85²

18 + 25 = 85

43 < 85

Persamaan dengan teorema phytagoras bertanda lebih kecil, sehingga jenis segitiga PQR adalah segitiga lancip.

Kesimpulan

Jika diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik P(3,4), Q(-1,1), dan R(-4,-2), maka segitiga PQR adalah segitiga lancip yang mempunyai panjang sisi-sisinya yaitu PQ = 4,24, PR = 9,22, dan QR = 5.