Jawaban:

f'(1) terdefinisi.

PEMBAHASAN

Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = c apabila nilai fungsi di x = c dan nilai limit di x = c memiliki nilai yang sama.

\lim_{x \to c} f(x)=f(c)lim

x→c

f(x)=f(c)

Jika fungsi kontinu maka fungsi dapat diturunkan/didiferensialkan di x = c.

Fungsi f(x) memiliki nilai limit pada titik c jika dan hanya jika nilai limit fungsi tersebut jika didekati dari arah kiri titik c dan arah kanan titik c memiliki nilai yang sama.

\lim_{x \to c^-} f(x)= \lim_{x \to c^+} f(x)=f(c)lim

x→c

−

f(x)=lim

x→c

+

f(x)=f(c)

Maka~ \lim_{x \to c} f(x)=f(c)Maka lim

x→c

f(x)=f(c)

Jika nilai limitnya berbeda maka fungsi tidak memiliki nilai limit pada titik x = c.

.

DIKETAHUI

\begin{gathered}f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2-x+3,~~x < 1\\ \\1+2\sqrt{x},~~~~x\geq 1\end{matrix}\right.\end{gathered}

f(x)=

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

x

2

−x+3, x<1

1+2

x

, x≥1

.

DITANYA

Tentukan apakah f'(1) ada atau tidak.

.

PENYELESAIAN

Kita tentukan dahulu apakah fungsi kontinu di x = 1 atau tidak. Jika di x = 1 fungsi kontinu maka f'(1) ada, sedangkan jika di x = 1 fungsi tidak kontinu maka f'(1) tidak ada.

> Mencari nilai limit di x = 1.

Untuk limit x = 1 dari kiri (x < 1) :

\lim_{x \to 1^-} f(x)= \lim_{x \to 1^-} (x^2-x+3)lim

x→1

−

f(x)=lim

x→1

−

(x

2

−x+3)

\lim_{x \to 1^-} f(x)=(1)^2-(1)+3lim

x→1

−

f(x)=(1)

2

−(1)+3

\lim_{x \to 1^-} f(x)=3lim

x→1

−

f(x)=3

.

Untuk limit x = 1 dari kanan (x ≥ 1) :

\lim_{x \to 1^+} f(x)= \lim_{x \to 1^-} (1+2\sqrt{x})lim

x→1

+

f(x)=lim

x→1

−

(1+2

x

)

\lim_{x \to 1^+} f(x)=(1)+2\sqrt{(1)}lim

x→1

+

f(x)=(1)+2

(1)

\lim_{x \to 1^-} f(x)=3lim

x→1

−

f(x)=3

.

Karena limit kiri dan limit kanan nilainya sama maka :

\lim_{x \to 1} f(x)=3lim

x→1

f(x)=3

.

> Mencari nilai f(1).

f(1)=1+2\sqrt{1}f(1)=1+2

1

f(1)=1+2f(1)=1+2

f(1)=3f(1)=3

.

Karena \lim_{x \to 1} f(x)=f(1)lim

x→1

f(x)=f(1) maka f(x) kontinu di x = 1. Sehingga fungsi dapat diturunkan di x = 1 menyebabkan f'(1) terdefinisi.

.

KESIMPULAN

f'(1) terdefinisi.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Limit dua arah : yomemimo.com/tugas/29558741

Piecewise function : yomemimo.com/tugas/30166028

Piecewise function : yomemimo.com/tugas/30205412

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Turunan

Kode Kategorisasi: 11.2.9

Kata Kunci : turunan, fungsim limit kiri, limit kanan, kontinu.