Diketahui titik P (2, 3, -1) dan Q (-2, -4,

Berikut ini adalah pertanyaan dari achmaddani2005a1 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui titik P (2, 3, -1) dan Q (-2, -4, 3) serta Vektor u=4i - 3j + k, maka proyeksi vektor u pada arah PQ adalah ....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui titik P (2 , 3 , -1) dan Q (-2 ,4 , 3) serta vektor $\rm \overrightarrow{\rm u} = 4i-3j+k$ . Maka proyeksi vektor $\overrightarrow{\rm u}$ pada arah PQ adalah $\bf = -\frac{1}{9}i , -\frac{7}{9}j , \frac{1}{9}k$

Pendahuluan :

$\rm \blacktriangleright Pengertian :$

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor terdiri dari 2 jenis, yaitu vektor dua dimensi (bidang) dan vektor tiga dimensi (ruang). Penamaan vektor dapat berupa : $\overrightarrow{\rm AB} , \overrightarrow{\rm u}, \underline{\rm u}, dan~\bold {u}$ . Notasi penulisan vektor terdiri dari 3 jenis :

1) Vektor kolom : $\overrightarrow {\rm AB} = \left(\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}\right)$

2) Vektor baris : $\overrightarrow{\rm v} = (3, 4 , 5)$

3) Vektor huruf : $\underline{\rm u} = \rm 6i -2j +7k$

$\\$

$\rm \blacktriangleright Rumus-rumus~Vektor :$

$\bf \star Penjumlahan~dan~Pengurangan Vektor$

• $\left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 2 \\ 9 \end{matrix}\right)$ $\rm = \left(\begin{matrix} 7 \\ 16 \end{matrix}\right)$

• $\rm i + 2j + 4i + 5j = (i+ 4i) + (2j+5j) = 5i + 7j$

$\\$

$\bf \star Vektor~Posisi :$

• $\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm OB}$

• $\overrightarrow{\rm AB} = -\overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB}$

• $\overrightarrow{\rm AB}= \overrightarrow{\rm b} - \overrightarrow{\rm a}$

$\\$

$\bf \star Panjang~Vektor (Modulus~Vektor) :$

•2 Dimensi : $|\overrightarrow{\rm AB}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

•3 Dimensi : $|\overrightarrow{\rm AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\\$

$\bf \star Perkalian~Vektor :$

• $\rm 2(3i + 4j) = 6i + 8j$

• $\rm \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}\right) . \left(\begin{matrix} 2 \\ 9 \end{matrix}\right)$ $\rm = \left(\begin{matrix} 10 \\ 63 \end{matrix}\right) = 10 + 63 = 73$

• $\overrightarrow {\rm a} . \overrightarrow{\rm b} = |\overrightarrow{\rm a}| \times |\overrightarrow{\rm b}|\times cos~ \theta$

$\\$

$\bf \star Proyeksi~Vektor :$

1) Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar) :

• $\overrightarrow{\rm a}$ pada $\overrightarrow{\rm b}$ adalah $|\overrightarrow{\rm a_b}| = |\frac{\overrightarrow{\rm a}.\overrightarrow{\rm b}}{|\overrightarrow{\rm b}|}|$

2) Vektor proyeksi vektor (proyeksi vektor orthogonal)

• $\overrightarrow{\rm a}$ pada $\overrightarrow{\rm b}$ adalah $\overrightarrow{\rm a_b} = (\frac{\overrightarrow{\rm a}. \overrightarrow{\rm b}}{|\overrightarrow{\rm b}|^2}) . \overrightarrow{\rm b}$