Jawaban:

Fungsi komposisi merupakan fungsi baru yang diperoleh dari hasil menggabungkan dua buah fungsi yang berbeda. Fungsi (fog)(x) berarti memasukkan/mensubstitusi fungsi g(x) ke dalam fungsi f(x).

\begin{gathered}(fog)(x)=f(g(x))\\\\(gof)(x)=g(f(x))\\\end{gathered}

(fog)(x)=f(g(x))

(gof)(x)=g(f(x))

Sifat operasi pada fungsi komposisi :

\begin{gathered} > ~(fog)(x)\neq(gof)(x)\\\\ > ~[fo(goh)](x)=[(fog)oh](x)\\\end{gathered}

> (fog)(x)



=(gof)(x)

> [fo(goh)](x)=[(fog)oh](x)

Sedangkan fungsi invers adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. fungsi invers dari f(x) dilambangkan dengan f^{-1}(x)f

−1

(x) .

Sifat operasi fungsi invers pada fungsi komposisi :

(fog)^{-1}(x)=(g^{-1}of^{-1})(x)(fog)

−1

(x)=(g

−1

of

−1

)(x)

.

DIKETAHUI

(f^{-1}~o~g^{-1}~o~h^{-1})(x)=3x-1~dan~(h~o~g)(x)=\frac{2x+1}{x-1},~x\neq 1(f

−1

o g

−1

o h

−1

)(x)=3x−1 dan (h o g)(x)=

x−1

2x+1

, x



=1

.

DITANYA

Tentukan nilai dari f(-3).

.

PENYELESAIAN

> Cari fungsi (g^{-1}~o~h^{-1})(x)(g

−1

o h

−1

)(x)

Misal :

\begin{gathered}y=\frac{2x+1}{x-1}~~~~~...kali~silang\\\\y(x-1)=2x+1\\\\yx-y=2x+1\\\\yx-2x=y+1\\\\(y-2)x=y+1\\\\x=\frac{y+1}{y-2}\\\\Substitusi~kembali~x=y\\\\y=\frac{x+1}{x-2},~x\neq 2\\\\\\Sehingga:\\\\(h~o~g)^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-2}~x\neq 2\\\\(g^{-1}~o~h^{-1})(x)=\frac{x+1}{x-2}~x\neq 2\\\end{gathered}

y=

x−1

2x+1

...kali silang

y(x−1)=2x+1

yx−y=2x+1

yx−2x=y+1

(y−2)x=y+1

x=

y−2

y+1

Substitusi kembali x=y

y=

x−2

x+1

, x



=2

Sehingga:

(h o g)

−1

(x)=

x−2

x+1

x



=2

(g

−1

o h

−1

)(x)=

x−2

x+1

x



=2

.

> Cari nilai dari f(-3)

\begin{gathered}(f^{-1}~o~g^{-1}~o~h^{-1})(x)=3x-1\\\\(f^{-1}(g^{-1}~o~h^{-1}))(x)=3x-1\\\\(f^{-1}(\frac{x+1}{x-2}))=3x-1~~~~~~~~~~~~~...(f^{-1}(a))=b~\to~f(b)=a\\\\f(3x-1)=\frac{x+1}{x-2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~...substitusi~x=-\frac{2}{3}\\\\f(3(-\frac{2}{3})-1)=\frac{-\frac{2}{3}+1}{-\frac{2}{3}-2}\\\\f(-2-1)=\frac{\frac{-2+3}{3}}{\frac{-2-6}{3}}\\\\f(-3)=\frac{1}{-8}\\\\f(-3)=-\frac{1}{8}\\\end{gathered}

(f

−1

o g

−1

o h

−1

)(x)=3x−1

(f

−1

(g

−1

o h

−1

))(x)=3x−1

(f

−1

(

x−2

x+1

))=3x−1 ...(f

−1

(a))=b → f(b)=a

f(3x−1)=

x−2

x+1

...substitusi x=−

3

2

f(3(−

3

2

)−1)=

−

3

2

−2

−

3

2

+1

f(−2−1)=

3

−2−6

3

−2+3

f(−3)=

−8

1

f(−3)=−

8

1

.

KESIMPULAN

Nilai dari f(-3) adalah -\frac{1}{8}−

8

1