Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pernyataan yang ingin dibuktikan adalah:

Misalkan terdapat 3 buah himpunan: A, B, dan C.

A ⊆ B ⇒ (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)

_______________________

CARA 1

A ⊆ B berarti himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B. Setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B.

Oleh karena itu:

A ⊆ B ⇔ (A ∩ B = A)   .....(i)

Artinya: A merupakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika irisan himpunan A dan B adalah A.

Sehingga, irisan ketiga himpunan A, B, dan C dapat dinyatakan sebagai berikut.

A ∩ B ∩ C

= (A ∩ B) ∩ C    .....(sifat asosiatif)

= A ∩ C

Jadi:

A ∩ B ∩ C = A ∩ C    .....(ii)

Dari sifat asosiatif di atas, jika dijabarkan dengan sifat distributif, akan menjadi:

(A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) =  A ∩ C

Jadi:

(A ∩ C) ∩ (B ∩ C) =  A ∩ C    .....(iii)

Sesuai bentuk pernyataan (i) di atas, dengan arah implikasi dari ruas kanan, pernyataan (iii) berimplikasi pada:

(A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)

∴ Dengan demikian, terbukti benar bahwa:

A ⊆ B ⇒ (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)

_______________________

CARA 2 (dengan logika matematika)

Misalkan:

p : x ∈ A

q : x ∈ B

r : x ∈ C

A ⊆ B berarti pula bahwa:

Untuk setiap x: jika x adalah anggota himpunan A, maka x juga adalah anggota himpunan B.

∀x [ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B) ]

Dapat dinyatakan juga sebagai:

p ⇒ q    .....(i)

A ∩ C = { x | (x ∈ A) dan (x ∈ C) }

Dapat dinyatakan dengan: p ∧ r

B ∩ C = { x | (x ∈ B) dan (x ∈ C) }

Dapat dinyatakan dengan: q ∧ r

(A ∩ C) ⊆ (B ∩ C) artinya:

Untuk setiap x: jika x adalah anggota A ∩ C, maka x juga adalah anggota B ∩ C.

≡ ∀x [ (x ∈ A ∩ C) ⇒ (x ∈ B ∩ C) ]

≡ (p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)     .....(ii)

Maka pernyataan yang ingin dibuktikan, yaitu:

A ⊆ B ⇒ (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)

dapat dinyatakan dengan:

(p ⇒ q) ⇒ [ (p ∧ r) ⇒ (q ∧ r) ]

(p ⇒ q) ⇒ [ (p ∧ r) ⇒ (q ∧ r) ]

.....(hukum implikasi: a ⇒ b ≡ ¬a ∨ b)

≡ ¬(p ⇒ q) ∨ [ (p ∧ r) ⇒ (q ∧ r) ]

.....(hukum implikasi)

≡ ¬(¬p ∨ q) ∨ [ ¬(p ∧ r) ∨ (q ∧ r) ]

.....(hukum DeMorgan)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ [ (¬p ∨ ¬r) ∨ (q ∧ r) ]

.....(sifat distributif)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ [ (¬p ∨ ¬r ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬r ∨ r) ]

.....(hukum negasi/komplemen)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ [ (¬p ∨ ¬r ∨ q) ∧ (¬p ∨ BENAR) ]

.....(hukum ikatan/annihilation)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ [ (¬p ∨ ¬r ∨ q) ∧ BENAR ]

.....(hukum identitas konjungsi)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ ¬r ∨ q)

.....(hukum komutatif)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q ∨ ¬r)

.....(hukum asosiatif)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q) ∨ ¬r

.....(hukum DeMorgan)

≡ (p ∧ ¬q) ∨ ¬(p ∧ ¬q) ∨ ¬r

.....(hukum negasi/komplemen)

.....[ (p ∧ ¬q) ∨ ¬(p ∧ ¬q) = BENAR ]

≡ BENAR ∨ ¬r

.....(hukum ikatan/annihilation)

≡ BENAR

∴  Dengan demikian:

(p ⇒ q) ⇒ [ (p ∧ r) ⇒ (q ∧ r) ] bernilai BENAR.

sehingga:

A ⊆ B ⇒ (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C) TERBUKTI BENAR.