persamaan diferensial eksak

Berikut ini adalah pertanyaan dari haikal16523 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Persamaan diferensial eksak

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Solusi~dari~\frac{dx}{dy}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}~adalah~\frac{1}{2}x^2+2xy+\frac{1}{3}y^3=C$

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial $Mdx+Ndy=0$ disebut eksak jika memenuhi :

$\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}$

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah $F(x,y)=C$

Langkah langkah untuk mencari solusi $F(x,y)=C$

1. Karena $\frac{\partial{F(x,y)}}{\partial{x}}=M(x,y)$ maka $F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx+g(y)$

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).

DIKETAHUI

$\frac{dy}{dx}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}\\$

DITANYA

Tentukan solusi dari persamaan diferensial eksak tersebut.

PENYELESAIAN

$\frac{dy}{dx}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}\\\\(y^2+2x)dy=-(x+2y)dx\\\\(x+2y)dx+(y^2+2x)dy=0\\\\diperoleh~:\\\\M=x+2y\\\\N=y^2+2x\\\\\\Cek~nilai~\frac{\partial{M}}{\partial{y}}~dan~\frac{\partial{N}}{\partial{x}}\\\\\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=2\\\\\frac{\partial{N}}{\partial{x}}=2\\\\Karena~\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}~maka~PD~eksak\\$