V adalah himpunan semua fungsi-fungsi real dari satu variabel. Didefenisikan

Berikut ini adalah pertanyaan dari nad81h pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

V adalah himpunan semua fungsi-fungsi real dari satu variabel. Didefenisikan penjumlahan (f+g) (x) = f(x) + g (x) dan perkalian skalar (Af)(x) = f(x) untuk setiap f, g € V serta x dan Askalar real. Contoh untuk operasi ini : Misalnya : f (x) = 2 x² dan g(x) = 6x + 2, Tunjukkan bahwa V suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

(Uraian jawaban di bawah ini.) 

_____________________

Pendahuluan

Ruang Vektor di atas Suatu Field

Suatu ruang vektor $V$ di atas field $\mathbb{F}$ adalah himpunan tak hampa $V$ , yang memuat vektor $\bf0$ dan dilengkapi dengan operasipenjumlahandanperkalian skalar apabila memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.

$\begin{aligned}&(i)\ \ \forall u,v,w\in V\rm\ berlaku\\&\quad\left\{\!\!\begin{array}{lll}\rm(A1)&u+v\in V\\&\rm(sifat\ tertutup)\\\rm(A2)&u+v=v+u&\\&\rm(sifat\ komutatif)\\\rm(A3)&(u+v)+w=u+(v+w)\\&\rm(sifat\ asosiatif)\\\rm(A4)&{\bf0}+u=u\\&\rm(vektor\ nol)\\\rm(A5)&\exists\:{-}u\in V\ni u+(-u)=\bf0\\&\rm(vektor\ balikan)\\\end{array}\right.\end{aligned}$

$\begin{aligned}&(ii)\ \ \forall u,v\in V{\rm\ dan\ }\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}\rm\ berlaku\\&\quad\left\{\!\!\begin{array}{lll}\rm(A6)&\alpha u\in V\\\rm(A7)&1\cdot v=v&\\\rm(A8)&\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v\\&\rm(sifat\ distributif)\\\rm(A9)&(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v\\&\rm(sifat\ distributif)\\\rm(A10)&(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)\\\end{array}\right.\end{aligned}$

_____________________

Pembahasan

Catatan:
Pada deskripsi persoalan di bawah ini, saya ubah sedikit agar lebih lengkap.

PERSOALAN

$V$ adalah himpunan semua fungsi-fungsi real dari satu variabel. Didefinisikan penjumlahan $(f+g)(x) = f(x) + g (x)$ dan perkalian skalar $(\alpha f)(x) = f(x)$ untuk setiap $f, g \in V$ serta $x$ dan $\alpha$ skalar real.
Contoh untuk operasi ini:
Misalnya: $f (x) = 2x^2$ dan $g(x) = 6x + 2$ , maka $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x^2+6x+2$ , dan $(5f)(x)=5f(x)=10x^2$ .
Tunjukkan bahwa $V$ suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

PENYELESAIAN

Kita selidiki semua aksioma ruang vektor di atas, apakah terpenuhi oleh $V$ .

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad(f+g)(x)=f(x)+g(x)\in V\\&\textsf{Oleh karena itu, $(f+g)(x)\in V$}.\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A1$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad\begin{aligned}(f+g)(x)&=(g+f)(x)\\&=g(x)+f(x)\in V\end{aligned}\\&\textsf{Oleh karena itu, $(f+g)(x)\in V$}.\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A2$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Misalkan terdapat $h(x)\in V$, maka}\\&\textsf{untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad\begin{aligned}\left((f+g)+h\right)(x)&=(f+g)(x)+h(x)\\&=f(x)+g(x)+h(x)\\&=f(x)+(g+h)(x)\\&=\left(f+(g+h)\right)(x)\end{aligned}\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A3$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, terdapat}\\&\textsf{fungsi nol, yaitu $0(x)=0$,}\\&\textsf{sehingga berlaku}\\&\quad\begin{aligned}&0(x)+(f+g)(x)\\&\quad=0+f(x)+g(x)\\&\quad=(f+g)(x)\end{aligned}\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A4$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad\begin{aligned}&{-}(f+g)(x)+(f+g)(x)\\&{\quad=\ }{-}\left(f(x)+g(x)\right)+f(x)+g(x)\\&{\quad=\ }-f(x)-g(x)+f(x)+g(x)\\&{\quad=\ }\left(f(x)-f(x)\right)+\left(g(x)-g(x)\right)\\&{\quad=\ }0+0\\&{\quad=\ }0\end{aligned}\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A5$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x,\alpha\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\\&\textsf{Oleh karena itu, $(\alpha f)(x)\in V$}.\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A6$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad1\cdot f(x)=f(x)\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A7$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x,\alpha\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad\begin{aligned}\left(\alpha(f+g)\right)(x)&=\alpha\left((f+g)(x)\right)\\&=\alpha f(x)+\alpha g(x)\\&=(\alpha f)(x)+(\alpha g)(x)\\&=(\alpha f+\alpha g)(x)\end{aligned}\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A8$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad\begin{aligned}\left(\alpha+\beta\right)f(x)&=\alpha f(x)+\beta f(x)\\&=(\alpha f)(x)+(\beta f)(x)\\&=\left(\alpha f+\beta f\right)(x)\\\end{aligned}\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A9$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\ \ &\textsf{Untuk setiap $x,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ berlaku}\\&\quad\begin{aligned}\left(\alpha\beta\right)f(x)&=\alpha\left(\beta f(x)\right)\\&=\alpha\left(\beta f\right)(x)\\\end{aligned}\\&\therefore\ \boxed{\text{$\bf A10$ terpenuhi}.}\\\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Telah ditunjukkan bahwa $V$ memenuhi semua aksioma ruang vektor. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa $V$ adalah suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

$\blacksquare$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 09 Sep 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah