carilah titik berat daerah yang dibatasi kurva y=4-x^2,y=2x+1 dan sumbu

Berikut ini adalah pertanyaan dari sidewdew14 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Carilah titik berat daerah yang dibatasi kurva y=4-x^2,y=2x+1 dan sumbu y

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Ada 2 alternatif titik berat, yaitu:

Titik berat daerah pertama, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva $y=4-x^2$ , garis $y=2x+1$ , dan sumbu-y pada interval $0 \le x \le 1$ adalah(0,35, 2,76).

Titik berat daerah kedua, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva $y=4-x^2$ , garis $y=2x+1$ , dan sumbu-y pada interval $-3 \le x \le 0$ adalah(–1,25, –0,2).

 
________________

Pendahuluan

Titik Berat Daerah yang Dibatasi oleh Fungsi

Titik berat daerah yang dibatasi oleh fungsi $y=f(x)$ dan $y=g(x)$ pada interval $a \le x \le b$ adalah $\left(\overline{x},\:\overline{y}\right)$ , di mana:

$\begin{aligned}\bullet\ &\overline{x}=\frac{1}{L}\int_{a}^{b}x\left(f(x)-g(x)\right)dx\\\bullet\ &\overline{y}=\frac{1}{L}\int_{a}^{b}\frac{1}{2}\left(\left[f(x)\right]^2-\left[g(x)\right]^2\right)dx\\\end{aligned}$

dengan $L$ menyatakan luas daerahnya.

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi $y=f(x)$ dan $y=g(x)$ pada interval $a \le x \le b$ kita menggunakan rumus:

$\begin{aligned}L=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx\end{aligned}$

_______________

Pembahasan

Diketahui

Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=4-x^2$ , garis $y=2x+1$ , dan sumbu-y.

Ditanyakan

Titik berat daerah tersebut.

PENYELESAIAN

Kurva $y=4-x^2$ memotong sumbu-y di titik (0, 4). Sedangkan garis $y=2x+1$ memotong sumbu-y di titik (0, 1). Oleh karena itu, untuk daerah yang dievaluasi, kurva $y=4-x^2$ berada di atas garis $y=2x+1$ .

Pada pertanyaan, tidak ada informasi tentang letak daerah yang dievaluasi terhadap sumbu-y.
Kurva $y=4-x^2$ memiliki sumbu simetri sumbu-y. Oleh karena itu, ada 2 alternatif daerah, yaitu pada interval $x \ge 0$ atau $x \le 0$ .

Absis titik potong antara kurva $y=4-x^2$ dengan garis $y=2x+1$ adalah:

$\begin{aligned}&2x+1=4-x^2\\&\Rightarrow x^2+2x+1-4=0\\&\Rightarrow x^2+2x-3=0\\&\Rightarrow (x-1)(x+3)=0\\&\Rightarrow x={\bf1}\ \ {\rm atau}\ \ x=\bf{-3}\end{aligned}$

Jadi, daerah pertamayang dibatasi oleh kurva $y=4-x^2$ , garis $y=2x+1$ , dan sumbu-y adalah daerah pada interval $0 \le x \le 1$ . Daerah keduaadalah daerah pada interval $-3 \le x \le 0$ .

Menentukan Titik Berat Daerah Pertama

Luas daerah pertama adalah:

$\begin{aligned}L_1&=\int_0^1\left(4-x^2-(2x+1)\right)dx\\&=\int_0^1\left(3-x^2-2x\right)dx\\&=\left.\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|_0^1\\&=3-\frac{1}{3}-1\\&=2-\frac{1}{3}\\L_1&=\bf\frac{5}{3}\\\end{aligned}$

ABSIS titik beratnya adalah:

$\begin{aligned}\overline{x}_1&=\frac{1}{5/3}\int_{0}^{1}x\left(3-x^2-2x\right)dx\\&=\frac{3}{5}\int_{0}^{1}\left(3x-x^3-2x^2\right)dx\\&=\frac{3}{5}\left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{0}^{1}\\&=\frac{3}{5}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\right)\\&=\frac{3}{5}\left(\frac{18-3-8}{12}\right)\\&=\frac{1}{5}\left(\frac{7}{4}\right)\\\overline{x}_1&=\bf\frac{7}{20}=0{,}35\end{aligned}$

ORDINAT titik beratnya adalah:

$\begin{aligned}\overline{y}_1&=\frac{1}{5/3}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left(\left[4-x^2\right]^2-\left[2x+1\right]^2\right)dx\\&=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(16-8x^2+x^4-\left(4x^2+4x+1\right)\right)dx\\&=\frac{3}{10}\int_{0}^{1}\left(x^4-12x^2-4x+15\right)dx\\&=\frac{3}{10}\left.\left(\frac{x^5}{5}-4x^3-2x^2+15x\right)\right|_{0}^{1}\\&=\frac{3}{10}\left(\frac{1}{5}-4-2+15\right)\\&=\frac{3}{10}\left(\frac{1}{5}+9\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}\overline{y}_1&=\frac{3}{10}\left(\frac{46}{5}\right)\\&=\frac{3}{5}\left(\frac{23}{5}\right)\\&=\bf\frac{69}{25}=\bf\frac{276}{100}=2{,}76\\\end{aligned}$

∴ Dengan demikian, titik berat daerah pertama adalah (0,35, 2,76).
$\blacksquare$

Menentukan Titik Berat Daerah Kedua

Luas daerah kedua adalah:

$\begin{aligned}L_2&=\left.\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|_{-3}^0\\&=0-\left(-9-\frac{-27}{3}-9\right)\\&=0-\left(-9+9-9\right)\\&=0-\left(-9\right)\\L_2&=\bf9\\\end{aligned}$

ABSIS titik beratnya adalah:

$\begin{aligned}\overline{x}_2&=\frac{1}{9}\left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-3}^{0}\\&=-\frac{1}{9}\left(\frac{27}{2}-\frac{81}{4}+\frac{54}{3}\right)\\&=-\left(\frac{3}{2}-\frac{9}{4}+\frac{6}{3}\right)\\&=-\frac{18-27+24}{12}\\\overline{x}_2&=\bf-\frac{15}{12}=-1{,}25\end{aligned}$

ORDINAT titik beratnya adalah:

$\begin{aligned}\overline{y}_2&=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}\left.\left(\frac{x^5}{5}-4x^3-2x^2+15x\right)\right|_{-3}^{0}\\&=-\frac{1}{18}\left(-\frac{243}{5}+108-18-45\right)\\&=\frac{27}{10}-6+1+\frac{5}{2}\\&=\frac{27}{10}-5+\frac{5}{2}\\&=\frac{27-50+25}{10}\\\overline{y}_2&=\bf-\frac{2}{10}=\bf-\frac{1}{5}=-0{,}2\\\end{aligned}$

∴ Dengan demikian, titik berat daerah kedua adalah (–1,25, –0,2).
$\blacksquare$

$Ada 2 alternatif titik berat, yaitu:Titik berat daerah pertama, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva [tex]y=4-x^2[/tex], garis [tex]y=2x+1[/tex], dan sumbu-y pada interval [tex]0 \le x \le 1[/tex] adalah (0,35, 2,76).Titik berat daerah kedua, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva [tex]y=4-x^2[/tex], garis [tex]y=2x+1[/tex], dan sumbu-y pada interval [tex]-3 \le x \le 0[/tex] adalah (–1,25, –0,2). ________________PendahuluanTitik Berat Daerah yang Dibatasi oleh FungsiTitik berat daerah yang dibatasi oleh fungsi [tex]y=f(x)[/tex] dan [tex]y=g(x)[/tex] pada interval [tex]a \le x \le b[/tex] adalah [tex]\left(\overline{x},\:\overline{y}\right)[/tex], di mana:[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\overline{x}=\frac{1}{L}\int_{a}^{b}x\left(f(x)-g(x)\right)dx\\\bullet\ &\overline{y}=\frac{1}{L}\int_{a}^{b}\frac{1}{2}\left(\left[f(x)\right]^2-\left[g(x)\right]^2\right)dx\\\end{aligned}[/tex]dengan [tex]L[/tex] menyatakan luas daerahnya.Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi [tex]y=f(x)[/tex] dan [tex]y=g(x)[/tex] pada interval [tex]a \le x \le b[/tex] kita menggunakan rumus:[tex]\begin{aligned}L=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx\end{aligned}[/tex]_______________PembahasanDiketahuiDaerah yang dibatasi oleh kurva [tex]y=4-x^2[/tex], garis [tex]y=2x+1[/tex], dan sumbu-y.DitanyakanTitik berat daerah tersebut.PENYELESAIANKurva [tex]y=4-x^2[/tex] memotong sumbu-y di titik (0, 4). Sedangkan garis [tex]y=2x+1[/tex] memotong sumbu-y di titik (0, 1). Oleh karena itu, untuk daerah yang dievaluasi, kurva [tex]y=4-x^2[/tex] berada di atas garis [tex]y=2x+1[/tex].Pada pertanyaan, tidak ada informasi tentang letak daerah yang dievaluasi terhadap sumbu-y. Kurva [tex]y=4-x^2[/tex] memiliki sumbu simetri sumbu-y. Oleh karena itu, ada 2 alternatif daerah, yaitu pada interval [tex]x \ge 0[/tex] atau [tex]x \le 0[/tex]. Absis titik potong antara kurva [tex]y=4-x^2[/tex] dengan garis [tex]y=2x+1[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}&2x+1=4-x^2\\&\Rightarrow x^2+2x+1-4=0\\&\Rightarrow x^2+2x-3=0\\&\Rightarrow (x-1)(x+3)=0\\&\Rightarrow x={\bf1}\ \ {\rm atau}\ \ x=\bf{-3}\end{aligned}[/tex]Jadi, daerah pertama yang dibatasi oleh kurva [tex]y=4-x^2[/tex], garis [tex]y=2x+1[/tex], dan sumbu-y adalah daerah pada interval [tex]0 \le x \le 1[/tex]. Daerah kedua adalah daerah pada interval [tex]-3 \le x \le 0[/tex].Menentukan Titik Berat Daerah PertamaLuas daerah pertama adalah:[tex]\begin{aligned}L_1&=\int_0^1\left(4-x^2-(2x+1)\right)dx\\&=\int_0^1\left(3-x^2-2x\right)dx\\&=\left.\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|_0^1\\&=3-\frac{1}{3}-1\\&=2-\frac{1}{3}\\L_1&=\bf\frac{5}{3}\\\end{aligned}[/tex]ABSIS titik beratnya adalah:[tex]\begin{aligned}\overline{x}_1&=\frac{1}{5/3}\int_{0}^{1}x\left(3-x^2-2x\right)dx\\&=\frac{3}{5}\int_{0}^{1}\left(3x-x^3-2x^2\right)dx\\&=\frac{3}{5}\left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{0}^{1}\\&=\frac{3}{5}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\right)\\&=\frac{3}{5}\left(\frac{18-3-8}{12}\right)\\&=\frac{1}{5}\left(\frac{7}{4}\right)\\\overline{x}_1&=\bf\frac{7}{20}=0{,}35\end{aligned}[/tex]ORDINAT titik beratnya adalah:[tex]\begin{aligned}\overline{y}_1&=\frac{1}{5/3}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left(\left[4-x^2\right]^2-\left[2x+1\right]^2\right)dx\\&=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(16-8x^2+x^4-\left(4x^2+4x+1\right)\right)dx\\&=\frac{3}{10}\int_{0}^{1}\left(x^4-12x^2-4x+15\right)dx\\&=\frac{3}{10}\left.\left(\frac{x^5}{5}-4x^3-2x^2+15x\right)\right|_{0}^{1}\\&=\frac{3}{10}\left(\frac{1}{5}-4-2+15\right)\\&=\frac{3}{10}\left(\frac{1}{5}+9\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overline{y}_1&=\frac{3}{10}\left(\frac{46}{5}\right)\\&=\frac{3}{5}\left(\frac{23}{5}\right)\\&=\bf\frac{69}{25}=\bf\frac{276}{100}=2{,}76\\\end{aligned}[/tex]∴ Dengan demikian, titik berat daerah pertama adalah (0,35, 2,76).[tex]\blacksquare[/tex]Menentukan Titik Berat Daerah KeduaLuas daerah kedua adalah:[tex]\begin{aligned}L_2&=\left.\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|_{-3}^0\\&=0-\left(-9-\frac{-27}{3}-9\right)\\&=0-\left(-9+9-9\right)\\&=0-\left(-9\right)\\L_2&=\bf9\\\end{aligned}[/tex]ABSIS titik beratnya adalah:[tex]\begin{aligned}\overline{x}_2&=\frac{1}{9}\left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-3}^{0}\\&=-\frac{1}{9}\left(\frac{27}{2}-\frac{81}{4}+\frac{54}{3}\right)\\&=-\left(\frac{3}{2}-\frac{9}{4}+\frac{6}{3}\right)\\&=-\frac{18-27+24}{12}\\\overline{x}_2&=\bf-\frac{15}{12}=-1{,}25\end{aligned}[/tex]ORDINAT titik beratnya adalah:[tex]\begin{aligned}\overline{y}_2&=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}\left.\left(\frac{x^5}{5}-4x^3-2x^2+15x\right)\right|_{-3}^{0}\\&=-\frac{1}{18}\left(-\frac{243}{5}+108-18-45\right)\\&=\frac{27}{10}-6+1+\frac{5}{2}\\&=\frac{27}{10}-5+\frac{5}{2}\\&=\frac{27-50+25}{10}\\\overline{y}_2&=\bf-\frac{2}{10}=\bf-\frac{1}{5}=-0{,}2\\\end{aligned}[/tex]∴ Dengan demikian, titik berat daerah kedua adalah (–1,25, –0,2).[tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 29 Aug 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah