Jarak terdekat antara titik A (17, -2) dengan lingkaran x²

Berikut ini adalah pertanyaan dari pakyuuuu582 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jarak terdekat antara titik A (17, -2) dengan lingkaran x² + y² + 14x-10y-151 = 0 adalah....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jarak terdekat antara titik $A(17, -2)$ dengan lingkaran $x^2 + y^2 + 14x - 10y - 151 = 0$ adalah10 satuan.
 
_____________________

Pembahasan

Persamaan Lingkaran dan Jarak Antara Dua Titik

Diketahui
Titik $A(17, -2)$ , dan lingkaran $x^2 + y^2 + 14x - 10y - 151 = 0$

Ditanyakan
Jarak terdekat antara titik $A$ dengan lingkaran tersebut

PENYELESAIAN

Pertama-tama, kita tentukan titik pusat lingkaran dan radiusnya.

$\begin{aligned}&x^2+y^2+14x-10y-151=0\\&\Rightarrow x^2+14x+49+y^2-10y+25=151+49+25\\&\Rightarrow (x+7)^2+(y-5)^2=225\\&\Rightarrow (x+7)^2+(y-5)^2=15^2\\&\therefore\ \underline{\text{Titik pusat lingkaran}}:O(\bf{-}7,5)\\&\therefore\ \underline{\text{Jari-jari lingkaran}}:r=\bf15\end{aligned}$

Jarak terdekat dari sebuah titik $A(x, y)$ dengan sebuah lingkaran yang berpusat di $O(a, b)$ dan memiliki jari-jari $r$ , adalah selisih antara jarak titik $A$ ke titik pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran, yang dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}d=\left|\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}-r\,\right|\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}&A(17, -2)\Rightarrow x=17,y=-2\\&O(-7, 5)\:\,\Rightarrow a=-7,b=5\\d&=\left|\sqrt{{\big(17-(-7)\big)}^2+{(-2-5)}^2}-15\,\right|\\&=\left|\sqrt{{24}^2+{7}^2}-15\,\right|\\&=\left|\sqrt{576+49}-15\,\right|\\&=\left|\sqrt{625}-15\,\right|\\&=\left|25-15\,\right|\\\therefore\ d&=\bf10\end{aligned}$
$\blacksquare$