lim x mendekati tak hingga(cos pangkat dua(x+1)-x)/4x-1tolong dengan penjelasannya kaka

Berikut ini adalah pertanyaan dari chezyaelisyefa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Lim x mendekati tak hingga(cos pangkat dua(x+1)-x)/4x-1
tolong dengan penjelasannya kaka

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)-x}{4x-1} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{-\frac{1}{4}} }$ .

PEMBAHASAN

Salah satu cara untuk mencari nilai limit dari suatu fungsi adalah menggunakan teorema apit. Jika fungsi f(x) diapit oleh dua fungsi g(x) dan h(x) atau $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ dan $\lim\limits_{x \to c} g(x)= \lim\limits_{x \to c} h(x)=k$ maka $\lim\limits_{x \to c} f(x)=k$

DIKETAHUI

$\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)-x}{4x-1}= }$

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

PENYELESAIAN

$\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)-x}{4x-1} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)-x}{4x-1}\times\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{cos^2(x+1)}{x}-1}{4-\frac{1}{x}} }$

$\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \frac{cos^2(x+1)}{x}-1 \right )}{\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 4-\frac{1}{x} \right )} }$

$\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)}{x}-\lim\limits_{x \to \infty} 1}{\lim\limits_{x \to \infty} 4-\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x}} }$

$\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)}{x}-1}{4-0} }$

$\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)}{x}-1}{4} }$

$--------------------$

Untuk mencari nilai dari $\displaystyle{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{cos^2(x+1)}{x} }$ dapat kita gunakan teorema apit. Karena nilai $cos^2(x+1)$ berada pada selang 0 dan 1 atau $0\leq cos^2(x+1)\leq 1$ , maka :