Buktikan bahwa1² + 2² + 3² + .... +n² =

Berikut ini adalah pertanyaan dari fandimendrofa5 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Buktikan bahwa1² + 2² + 3² + .... +n² = dengan menggunakan induksi matematika! Alternatif Penyelesaian: 1) Langkah Dasar Untuk n = ....·····.. ....× (1 + 1) × (2 × ... ... + 1) 6 Merupakan pernyataan yang benar. 1² n(n+1)(2n+1) 6 = untuk

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dengan induksi matematika, terbukti bahwa
$\begin{aligned}&1^2+2^2+3^2+{\dots}+n^2\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{aligned}$
untuk $n$ bilangan asli.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika terdapat pada bagian pembahasan di bawah ini.
 

Pembahasan

Induksi Matematika

Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika terdiri atas tiga langkah, yaitu:

Langkah dasar, atau disebut juga dengan basis induksi.
Pada langkah pertama ini, kita membuktikan bahwa teorema atau pernyataan yang diberikan benar untuk nilai basis, pada umumnya $n = 1$ jika n bilangan asli.
Penetapan asumsi (hipotesis)
Pada langkah ini, kita menetapkan asumsi bahwa teorema atau pernyataan yang diberikan benar untuk sebuah nilai $n$ tertentu, yang tidak sama dengan nilai basis. Maka, dipilih sebuah variabel lain yang mewakili, yang menunjukkan bahwa asumsi ini benar untuk nilai $n$ tersebut. Biasanya, variabel lain tersebut adalah $k$ . Namun boleh menggunakan simbol atau huruf lain.
Langkah induksi
Pada langkah ini, kita membuktikan bahwa berdasarkan asumsi yang telah ditetapkan, teorema atau pernyataan yang diberikan benar untuk $n=k+1$ .

Jika pada langkah induksi teorema terbukti benar, maka dapat diambil kesimpulan bahwa teorema benar dan berlaku untuk semua nilai $n$ dalam himpunan bilangan yang melingkupinya. Pada umumnya, $n \in$ himpunan bilangan asli.

Penyelesaian Soal

Teorema/persamaan yang ingin dibuktikan adalah

$\begin{aligned}&1^2+2^2+3^2+{\dots}+n^2\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{aligned}$

untuk $n$ bilangan asli.

(Ini juga sekaligus sebagai koreksi/penjelasan soal yang kurang jelas.)

PEMBUKTIAN

Langkah Dasar (Basis Induksi)

Untuk $n=1$ , $1^2 = 1(2)(3)/6$ merupakan pernyataan yang benar.

Asumsi (Hipotesis)

Andaikan benar untuk $n=k$ dengan $k\in\mathbb{N}$ , yaitu
$\begin{aligned}&1^2+2^2+3^2+{\dots}+k^2\\&=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\end{aligned}$
maka harus dibuktikan benar pula untuk $n=k+1$ , yaitu
$\begin{aligned}&1^2+2^2+3^2+{\dots}+k^2+(k+1)^2\\&=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\end{aligned}$

Langkah Induksi

$\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }1^2+2^2+3^2+{\dots}+k^2+(k+1)^2\\&{=\ }\left(1^2+2^2+3^2+{\dots}+k^2\right)+(k+1)^2\\&{=\ }\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\&{=\ }\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]}{6}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}$
⇒ Langkah induksi untuk $n=k+1$ terbukti benar.

KESIMPULAN

Karena basis induksi terbukti benar, dan dengan asumsi yang ditetapkan, pada langkah induksi juga terbukti benar, dapat disimpulkan bahwa:

$\begin{aligned}&1^2+2^2+3^2+{\dots}+n^2\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{aligned}$

untuk $n$ bilangan asli terbukti benar dan berlaku.

_______________

Pelajari Lebih Lanjut

Contoh soal tentang Induksi Matematika

_______________

Detail Jawaban

Mata Pelajaran: Matematika
Kelas: 11 (XI)
Materi: Bab 1 - Induksi Matematika
Kode Kategorisasi: 11.2.1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 19 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah