interval konvergensi

Berikut ini adalah pertanyaan dari alfianz3735 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Interval konvergensi

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a. Interval konvergensi deret $\displaystyle{\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2^n}(x-5)^n}$ adalah3 < x < 7.

b. Interval konvergensi deret $\displaystyle{\sum\limits^{\infty}_{n=1} 2\frac{n!}{2^n}x^n}$ adalahx = 0.

PEMBAHASAN

Suatu deret tak hingga dapat bersifat konvergen atau divergen. Salah satu cara untuk membuktikan apakah deret tak hingga bernilai konvergen atau divergen adalah dengan menggunakan uji rasio. Uji rasio ini membandingkan suku ke-n dengan suku ke-n+1.

Ada 3 nilai dalam uji rasio, yaitu :

$\displaystyle{1.~Jika~\left | \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \right | < 1,~maka~deret~konvergen}$

$\displaystyle{2.~Jika~\left | \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \right | > 1,~maka~deret~divergen}$

$\displaystyle{3.~Jika~\left | \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \right |=1,~maka~deret~tidak~dapat~ditentukan~sifatnya}$

DIKETAHUI

$\displaystyle{a.~\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2^n}(x-5)^n}$

$\displaystyle{b.~\sum\limits^{\infty}_{n=1} 2\frac{n!}{2^n}x^n}$

DITANYA

Tentukan interval konvergensinya.

PENYELESAIAN

Soal a.

$\displaystyle{\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2^n}(x-5)^n}$

$\displaystyle{u_n=\frac{1}{2^n}(x-5)^n}$

$\displaystyle{u_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}(x-5)^{n+1}}$

Agar konvergen, maka :

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n+1}}(x-5)^{n+1}}{\frac{1}{2^n}(x-5)^n}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{(x-5)^{n+1-n}}{2^{n+1-n}}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{(x-5)}{2}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \frac{x-5}{2}\right| < 1}$

$\displaystyle{\frac{|x-5|}{2} < 1}$

$|x-5| < 2$

$-2 < x-5 < 2$

$-2+5 < x-5+5 < 2+5$

$3 < x < 7$

Interval korvengensi deret : 3 < x < 7.

.
Soal b.

$\displaystyle{\sum\limits^{\infty}_{n=1} 2\frac{n!}{2^n}x^n}$

$\displaystyle{u_n=2\frac{n!}{2^n}x^n}$

$\displaystyle{u_{n+1}=2\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}x^{n+1}}$

Agar konvergen, maka :

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{2\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}x^{n+1}}{2\frac{n!}{2^n}x^n}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!}\frac{1}{2^{n+1-n}}x^{n+1-n}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)n!}{n!}\frac{x}{2}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)x}{2}\right| < 1}$

Jika kita substitusi langsung maka nilai limitnya tak hingga, Maka agar pertidaksamaan mempunyai solusi nilai x haruslah = 0. Karena :

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(0)}{2}\right| < 1}$

$\displaystyle{\left| \lim_{n \to \infty} 0\right| < 1}$

$\displaystyle{0 < 1~(benar)}$

Interval konvergensi deret : x = 0.

KESIMPULAN

a. Interval konvergensi deret $\displaystyle{\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2^n}(x-5)^n}$ adalah3 < x < 7.

b. Interval konvergensi deret $\displaystyle{\sum\limits^{\infty}_{n=1} 2\frac{n!}{2^n}x^n}$ adalahx = 0.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Uji rasio deret tak hingga : yomemimo.com/tugas/29069678
Uji rasio deret tak hingga : yomemimo.com/tugas/50741749
Uji integral deret tak hingga : yomemimo.com/tugas/29744420
Uji banding langsung deret tak hingga : yomemimo.com/tugas/29460215

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Deret Tak Hingga

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 08 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

interval konvergensi​