Jawaban:

Diketahui panjang proyeksi vektor a = (–2, 8, 4) pada vektor b = (0, p, 4) adalah 8. Nilai p = 3. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Penulisannya bisa ditulis dalam 2 huruf kapital atau 1 huruf kecil. Penulisan vektor bisa dalam bentuk

Baris: u = (u₁, u₂, u₃)

Kolom: u = \begin{gathered}\left[\begin{array}{ccc}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{array}\right]\end{gathered}

⎣

⎢

⎡

u

1

u

2

u

3

⎦

⎥

⎤

Basis: u = u₁i + u₂j + u₃k

Panjang vektor u: |u| = \sqrt{(u_{1})^{2} + (u_{2})^{2} + (u_{3})^{2}}

(u

1

)

2

+(u

2

)

2

+(u

3

)

2

Perkalian vektor

u • v = u₁.v₁ + u₂.v₂ + u₃.v₃

u • v = |u| . |v| cos α

dengan α adalah sudut antara vektor u dan vektor v

Proyeksi vektor ortogonal u pada v

u_{v} = \frac{u \: . \: v}{|v|^{2}} \: vu

v

=

∣v∣

2

u.v

v

Proyeksi skalar u pada v (panjang proyeksi vektor u pada v)

|u_{v}| = \left|\frac{u \: . \: v}{|v|} \right|∣u

v

∣=

∣

∣

∣

∣

∣v∣

u.v

∣

∣

∣

∣

Pembahasan

Diketahui

vektor a = (–2, 8, 4)

vektor b = (0, p, 4)

panjang proyeksi vektor a pada b = 8

Ditanyakan

Nilai p = ... ?

Jawab

a . b = \begin{gathered}\left[\begin{array}{ccc}-2\\8\\4\end{array}\right] \: . \: \left[\begin{array}{ccc}0\\p\\4\end{array}\right] \end{gathered}

⎣

⎢

⎡

−2

8

4

⎦

⎥

⎤

.

⎣

⎢

⎡

0

p

4

⎦

⎥

⎤

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| = \sqrt{0^{2} + p^{2} + 4^{2}}

0

2

+p

2

+4

2

|b| = \sqrt{p^{2} + 16}

p

2

+16

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

\left|\frac{a \: . \: b}{|b|} \right|

∣

∣

∣

∣

∣b∣

a.b

∣

∣

∣

∣

= 8

\left|\frac{8p \: + \: 16}{\sqrt{p^{2} + 16}} \right|

∣

∣

∣

∣

∣

p

2

+16

8p+16

∣

∣

∣

∣

∣

= 8

\left|\frac{8(p \: + \: 2)}{\sqrt{p^{2} + 16}} \right|

∣

∣

∣

∣

∣

p

2

+16

8(p+2)

∣

∣

∣

∣

∣

= 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3