Tolong jawab beserta caranya Buktikan identitas trigonometri berikut!

Berikut ini adalah pertanyaan dari siti117087 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong jawab beserta caranya
Buktikan identitas trigonometri berikut!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti bahwa $\boldsymbol{\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}}$ .

PEMBAHASAN

Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut pada segitiga. Dalam trigonometri terdapat banyak rumus identitas, antara lain :

$sin^2\theta+cos^2\theta=1$

$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$

$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta$

DIKETAHUI

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}$

DITANYA

Buktikan identitas trigonometri diatas.

PENYELESAIAN

Misal :

$A=sin\alpha+cos\alpha$

$B=sin\alpha-cos\alpha$

Kita peroleh :

$A+B=sin\alpha+cos\alpha+sin\alpha-cos\alpha=2sin\alpha$

$A\times B=(sin\alpha+cos\alpha)(sin\alpha-cos\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha$

Maka :

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{1+B}{1+A}+\frac{1+A}{1+B}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{(1+B)^2+(1+A)^2}{(1+A)(1+B)}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{1+2B+B^2+1+2A+A^2}{1+A+B+AB}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2+2(A+B)+A^2+B^2}{1+A+B+AB}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2+2(A+B)+(A+B)^2-2AB}{1+A+B+AB}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2+2(2sin\alpha)+(2sin\alpha)^2-2(sin^2\alpha-cos^2\alpha)}{1+2sin\alpha+(sin^2\alpha-cos^2\alpha)}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2+4sin\alpha+4sin^2\alpha-2sin^2\alpha+2cos^2\alpha}{1+2sin\alpha+sin^2\alpha-cos^2\alpha}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2+4sin\alpha+2sin^2\alpha+2(1-sin^2\alpha)}{1+2sin\alpha+sin^2\alpha-(1-sin^2\alpha)}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2+4sin\alpha+2sin^2\alpha+2-2sin^2\alpha}{1+2sin\alpha+sin^2\alpha-1+sin^2\alpha}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{4+4sin\alpha}{2sin\alpha+2sin^2\alpha}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{4(1+sin\alpha)}{2sin\alpha(1+sin\alpha)}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{4}{2sin\alpha}$

$\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}~(\boldsymbol{terbukti})$

KESIMPULAN

Terbukti bahwa $\boldsymbol{\frac{1+sin\alpha-cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}+\frac{1+sin\alpha+cos\alpha}{1+sin\alpha-cos\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Membuktikan identitas trigonometri : yomemimo.com/tugas/36948219
Membuktikan identitas trigonometri : yomemimo.com/tugas/29135063
Persamaan trigonometri : yomemimo.com/tugas/34382463

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Trigonometri

Kode Kategorisasi: 10.2.7

Kata Kunci : identitas, trigonometri, pembuktian.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 12 Jun 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah