mhon bntuanya........

Berikut ini adalah pertanyaan dari haygiasofia pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mhon bntuanya........

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Hasil~dari~\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx ~adalah~\mathbf{\pi}.$

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :

$(i)~\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C,~~~dengan~C=konstanta$

$(ii)~\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx$

$(iii)~\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx$

Untuk fungsi genap dimana $f(-x)=f(x)$ danfungsi ganjil dimana

$f(-x)=-f(x)$ , memiliki nilai integral khusus, yaitu :

$(i)~\int\limits^a_{-a} {f(x)} \, dx=2\int\limits^a_0 {f(x)} \, dx,~~~untuk~f(x)=fungsi~genap$

$(ii)~\int\limits^a_{-a} {f(x)} \, dx=0,~~~untuk~f(x)=fungsi~ganjil$

DIKETAHUI

$\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx=$

DITANYA

Tentukan hasil dari integral fungsi tersebut.

PENYELESAIAN

Misal :

$A=\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx$

$A=\int\limits^2_{-2} {x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx +\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx$

Mari kita cek apakah kedua fungsi tersebut termasuk fungsi genap/ganjil atau bukan keduanya.

$f(x)=x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}$

Cari nilai f(-x) :

$f(-x)=(-x)^3cos\left ( \frac{-x}{2} \right )\sqrt{4-(-x)^2}$

$f(-x)=-x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}$

$f(-x)=-\left ( x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} \right )$

$f(-x)=-f(x)$

Maka fungsi termasuk fungsi ganjil, sehingga :

$\int\limits^2_{-2} {x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx=0$

$f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$

Cari nilai f(-x)

$f(-x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-(-x)^2}$

$f(-x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$

$f(-x)=f(x)$

Maka fungsi termasuk fungsi genap, sehingga :

$\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx=2\int\limits^2_{0} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx$

Mari kita selesaikan soalnya.

$A=\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx$

$A=\int\limits^2_{-2} {x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx +\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx$

$A=0+2\int\limits^2_{0} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx$

$A=\int\limits^2_{0} {\sqrt{4-x^2}} \, dx$

Gunakan substitusi trigonometri. Misal :

$sin\theta=\frac{x}{2}$

$2sin\theta=x$

$2cos\theta d\theta=dx$

$A=\int\limits^2_{0} {\sqrt{4-(2sin\theta)^2}} \, (2cos\theta d\theta)$

$A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta\sqrt{4-4sin^2\theta}} \, d\theta$

$A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta\sqrt{4(1-sin^2\theta)}} \, d\theta$

$A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta\sqrt{4cos^2\theta}} \, d\theta$

$A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta(2cos\theta)} \, d\theta$

$A=4\int\limits^2_{0} {cos^2\theta} \, d\theta$

$A=4\int\limits^2_{0} {\left ( \frac{cos2x+1}{2} \right ) \, d\theta$

$A=2\int\limits^2_{0} {(cos2\theta+1)} \, d\theta$

$A=2\left ( \frac{1}{2}sin2\theta+\theta \right )|^2_0$

$A=2\left ( \frac{1}{2}\times2sin\theta cos\theta+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0$

$A=2\left (sin\theta cos\theta+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0$

$A=2\left (\frac{x}{2}\times\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0$

$A=2\left (\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0$

$A=2\left [ \left (\frac{2\sqrt{4-2^2}}{4}+arcsin\frac{2}{2} \right )-\left (\frac{0\sqrt{4-0^2}}{4}+arcsin\frac{0}{2} \right ) \right ]$

$A=2\left [ \left (0+\frac{\pi}{2} \right )-\left (0+0 \right ) \right ]$

$A=\pi$

KESIMPULAN

$Hasil~dari~\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx ~adalah~\mathbf{\pi}.$

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30251199
Integral parsial : yomemimo.com/tugas/29436105
Intergal fungsi : yomemimo.com/tugas/29299793

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, antiturunan, fungsi, genap, ganjil.

$[tex]Hasil~dari~\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx ~adalah~\mathbf{\pi}.[/tex]PEMBAHASANIntegral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :[tex](i)~\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C,~~~dengan~C=konstanta[/tex][tex](ii)~\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx[/tex][tex](iii)~\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx[/tex]Untuk fungsi genap dimana [tex]f(-x)=f(x)[/tex] dan fungsi ganjil dimana [tex]f(-x)=-f(x)[/tex], memiliki nilai integral khusus, yaitu :[tex](i)~\int\limits^a_{-a} {f(x)} \, dx=2\int\limits^a_0 {f(x)} \, dx,~~~untuk~f(x)=fungsi~genap[/tex][tex](ii)~\int\limits^a_{-a} {f(x)} \, dx=0,~~~untuk~f(x)=fungsi~ganjil[/tex].DIKETAHUI[tex]\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx=[/tex].DITANYATentukan hasil dari integral fungsi tersebut..PENYELESAIANMisal :[tex]A=\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex][tex]A=\int\limits^2_{-2} {x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx +\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex].Mari kita cek apakah kedua fungsi tersebut termasuk fungsi genap/ganjil atau bukan keduanya.[tex]f(x)=x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}[/tex]Cari nilai f(-x) :[tex]f(-x)=(-x)^3cos\left ( \frac{-x}{2} \right )\sqrt{4-(-x)^2}[/tex][tex]f(-x)=-x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}[/tex][tex]f(-x)=-\left ( x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} \right )[/tex][tex]f(-x)=-f(x)[/tex]Maka fungsi termasuk fungsi ganjil, sehingga :[tex]\int\limits^2_{-2} {x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx=0[/tex].[tex]f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}[/tex]Cari nilai f(-x)[tex]f(-x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-(-x)^2}[/tex][tex]f(-x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}[/tex][tex]f(-x)=f(x)[/tex]Maka fungsi termasuk fungsi genap, sehingga :[tex]\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx=2\int\limits^2_{0} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex].Mari kita selesaikan soalnya.[tex]A=\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex][tex]A=\int\limits^2_{-2} {x^3cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx +\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex][tex]A=0+2\int\limits^2_{0} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex][tex]A=\int\limits^2_{0} {\sqrt{4-x^2}} \, dx[/tex].Gunakan substitusi trigonometri. Misal :[tex]sin\theta=\frac{x}{2}[/tex][tex]2sin\theta=x[/tex][tex]2cos\theta d\theta=dx[/tex].[tex]A=\int\limits^2_{0} {\sqrt{4-(2sin\theta)^2}} \, (2cos\theta d\theta)[/tex][tex]A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta\sqrt{4-4sin^2\theta}} \, d\theta[/tex][tex]A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta\sqrt{4(1-sin^2\theta)}} \, d\theta[/tex][tex]A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta\sqrt{4cos^2\theta}} \, d\theta[/tex][tex]A=2\int\limits^2_{0} {cos\theta(2cos\theta)} \, d\theta[/tex][tex]A=4\int\limits^2_{0} {cos^2\theta} \, d\theta[/tex][tex]A=4\int\limits^2_{0} {\left ( \frac{cos2x+1}{2} \right ) \, d\theta[/tex][tex]A=2\int\limits^2_{0} {(cos2\theta+1)} \, d\theta[/tex][tex]A=2\left ( \frac{1}{2}sin2\theta+\theta \right )|^2_0[/tex][tex]A=2\left ( \frac{1}{2}\times2sin\theta cos\theta+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0[/tex][tex]A=2\left (sin\theta cos\theta+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0[/tex][tex]A=2\left (\frac{x}{2}\times\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0[/tex][tex]A=2\left (\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}+arcsin\frac{x}{2} \right )|^2_0[/tex][tex]A=2\left [ \left (\frac{2\sqrt{4-2^2}}{4}+arcsin\frac{2}{2} \right )-\left (\frac{0\sqrt{4-0^2}}{4}+arcsin\frac{0}{2} \right ) \right ][/tex][tex]A=2\left [ \left (0+\frac{\pi}{2} \right )-\left (0+0 \right ) \right ][/tex][tex]A=\pi[/tex].KESIMPULAN[tex]Hasil~dari~\int\limits^2_{-2} {\left ( x^3cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right )\sqrt{4-x^2}} \, dx ~adalah~\mathbf{\pi}.[/tex].PELAJARI LEBIH LANJUTIntegral substitusi trigonometri : https://brainly.co.id/tugas/30251199Integral parsial : https://brainly.co.id/tugas/29436105Intergal fungsi : https://brainly.co.id/tugas/29299793.DETAIL JAWABANKelas : 11Mapel: MatematikaBab : IntegralKode Kategorisasi: 11.2.10Kata Kunci : integral, antiturunan, fungsi, genap, ganjil.$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 27 Nov 20

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

mhon bntuanya........​