1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Seekor burung terbang di udara pada lintasan yang membentuk

Berikut ini adalah pertanyaan dari rizkyadha877 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Seekor burung terbang di udara pada lintasan yang membentuk kurva y cos²(2x) dalam interval 0 < x < 90°. Suatu ketika burung tersebut berhenti pada kemiringan lintasan sebesar √2. Burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi....A. 225°
B. 110,5°
C. 56.25
D. 45°​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi 56,25°.
(opsi C)
 

Pembahasan

Turunan Pertama dan Kemiringan (Gradien)

Persoalan

Seekor burung terbang di udara pada lintasan yang membentuk kurva y = cos²(2x) dalam interval 0 < x < 90°. Suatu ketika burung tersebut berhenti pada kemiringan lintasan sebesar √2. Burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi ....

Penyelesaian

Kemiringan lintasan ketika burung berhenti adalah gradien garis singgung kurva pada titik di mana burung berhenti. Artinya, kemiringan lintasan sama dengan turunan pertama fungsi lintasan terbang burung pada sebuah titik tertentu, yaitu titik di mana burung berhenti.

Fungsi lintasan terbang burung dinyatakan oleh y=f(x)=\cos^2(2x). Maka, turunan pertamanya dinyatakan oleh:

\begin{aligned}f'(x)&=\tfrac{d}{dx}\left(\cos^2(2x)\right)\\&=2\cos(2x)\cdot\tfrac{d}{dx}\left(\cos(2x)\right)\\&=2\cos(2x)\left(-\sin(2x)\right)\cdot\tfrac{d}{dx}(2x)\\&=-2\cdot\underbrace{\sin(2x)\cos(2x)\cdot2}_{\sin(4x)}\\\therefore\ f'(x)&=-2\sin(4x)\end{aligned}

Nilai kemiringan pada saat berhenti adalah √2.
Maka:

\begin{aligned}f'(x)&=\sqrt{2}\\-2\sin(4x)&=\sqrt{2}\\\sin(4x)&=-\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\\\sin(4x)&=\begin{cases} \sin\left(225^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\right)\\\sin\left(315^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\right)\\\end{cases}\\&\qquad k\in\{0,1,2,3,{\dots}\}\end{aligned}

\begin{aligned}\Rightarrow x&=\begin{cases} \left(\frac{225}{4}\right)^{\circ}+k\cdot90^{\circ}\\\left(\frac{315}{4}\right)^{\circ}+k\cdot90^{\circ}\\\end{cases}\\&\qquad k\in\{0,1,2,3,{\dots}\}\\\therefore\ x&=\begin{cases} {\bf56{,}25^{\circ}}+k\cdot90^{\circ}\\{\bf78{,}75^{\circ}}+k\cdot90^{\circ}\\\end{cases}\\&\qquad k\in\{0,1,2,3,{\dots}\}\\\end{aligned}

Karena interval x adalah 0 < x < 90°, dengan k=0terdapat dua nilaix yang memenuhi, yaitu 56,25°atau78,75°.

KESIMPULAN

Berdasarkan opsi jawaban yang tersedia, burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi 56,25° (opsi C).

\blacksquare

Burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi 56,25°.(opsi C) PembahasanTurunan Pertama dan Kemiringan (Gradien)PersoalanSeekor burung terbang di udara pada lintasan yang membentuk kurva y = cos²(2x) dalam interval 0 < x < 90°. Suatu ketika burung tersebut berhenti pada kemiringan lintasan sebesar √2. Burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi ....PenyelesaianKemiringan lintasan ketika burung berhenti adalah gradien garis singgung kurva pada titik di mana burung berhenti. Artinya, kemiringan lintasan sama dengan turunan pertama fungsi lintasan terbang burung pada sebuah titik tertentu, yaitu titik di mana burung berhenti.Fungsi lintasan terbang burung dinyatakan oleh [tex]y=f(x)=\cos^2(2x)[/tex]. Maka, turunan pertamanya dinyatakan oleh:[tex]\begin{aligned}f'(x)&=\tfrac{d}{dx}\left(\cos^2(2x)\right)\\&=2\cos(2x)\cdot\tfrac{d}{dx}\left(\cos(2x)\right)\\&=2\cos(2x)\left(-\sin(2x)\right)\cdot\tfrac{d}{dx}(2x)\\&=-2\cdot\underbrace{\sin(2x)\cos(2x)\cdot2}_{\sin(4x)}\\\therefore\ f'(x)&=-2\sin(4x)\end{aligned}[/tex]Nilai kemiringan pada saat berhenti adalah √2.Maka:[tex]\begin{aligned}f'(x)&=\sqrt{2}\\-2\sin(4x)&=\sqrt{2}\\\sin(4x)&=-\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\\\sin(4x)&=\begin{cases} \sin\left(225^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\right)\\\sin\left(315^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\right)\\\end{cases}\\&\qquad k\in\{0,1,2,3,{\dots}\}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\Rightarrow x&=\begin{cases} \left(\frac{225}{4}\right)^{\circ}+k\cdot90^{\circ}\\\left(\frac{315}{4}\right)^{\circ}+k\cdot90^{\circ}\\\end{cases}\\&\qquad k\in\{0,1,2,3,{\dots}\}\\\therefore\ x&=\begin{cases} {\bf56{,}25^{\circ}}+k\cdot90^{\circ}\\{\bf78{,}75^{\circ}}+k\cdot90^{\circ}\\\end{cases}\\&\qquad k\in\{0,1,2,3,{\dots}\}\\\end{aligned}[/tex]Karena interval [tex]x[/tex] adalah 0 < x < 90°, dengan [tex]k=0[/tex] terdapat dua nilai [tex]x[/tex] yang memenuhi, yaitu 56,25° atau 78,75°.KESIMPULANBerdasarkan opsi jawaban yang tersedia, burung tersebut terbang dengan kemiringan sebesar √2 ketika berada di posisi 56,25° (opsi C).[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 01 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>