Jika merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat mod 6 dan H = {0,2,4} merupakan subgrup di . Maka, H adalah suatu subgrup normaldari.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Sebelum membahas subgrup normal, kita harus paham terlebih dahulu tentang Koset.

• Koset

        Definisi

        Jika H adalah subrup dari maka

         - Untuk setiap a ∈ : Ha = {ha | h ∈ H}

           disebut koset kananH dalam

         - Untuk setiap a ∈ : aH = {ah | h ∈ H}

           disebut koset kiriH dalam

kemudian

• Subgrup Normal

        Definisi

        - Jika N subgrup dari  maka N disebutsubgrup normal dari  jika

          dan hanya jika gN = Ng, untuk setiap g ∈ .

        - Jika N subgrup dari  maka N disebutsubgrup normal dari  jika

          dan hanya jika ∈ N, untuk setiap g ∈ dan

          untuk setiap n ∈ N.

        - Jika N subgrup dari  maka N disebutsubgrup normal dari  jika

          dan hanya jika ⊆ N, untuk setiap g ∈ .

Diketahui

merupakan suatugrup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat mod 6 dan H = {0,2,4} merupakan subgrupdi.

Ditanyakan

H adalah suatu subgrup normaldari?

Jawaban

Akan ditunjukkan bahwa H adalah suatu subgrup normal dari . Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa Ha = aH atau aH = Ha, dengan kata lain koset kanan H sama dengan koset kiri H dalam .

Karena diketahui merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6 maka = {0,1,2,3,4,5}.

Perhatikan bahwa pada modulo 6 , mod 6. sehingga diperoleh

-Koset kananH dalam yaitu

  = {0,2,4} 0 = {0,2,4}

  = {0,2,4} 1 = {1,3,5}

  = {0,2,4} 2 = {2,4,0}

  = {0,2,4} 3 = {3,5,1}

  = {0,2,4} 4 = {4,0,2}

  = {0,2,4} 5 = {5,1,3}

- Koset kiriH dalam yaitu

  = 0   {0,2,4) = {0,2,4}

  = 1   {0,2,4) = {1,3,5}

  = 2   {0,2,4) = {2,4,0}

  = 3   {0,2,4) = {3,5,1}

  = 4   {0,2,4) = {4,0,2}

  = 5   {0,2,4) = {5,1,3}

Terlihat bahwa Hg = gH atau gH = Hg, untuk setiap g ∈  .

Artinya, koset kanan H sama dengan koset kiri H dalam .

Jadi, terbuktibahwa H adalah suatu subgrup normal dari.

Pelajari lebih lanjut

Pelajari lebih lanjut tentang grup pada

yomemimo.com/tugas/12612605

#BelajarBersamaBrainly #SPJ1