Integral 1 /(x-1)² (x+4)²

Berikut ini adalah pertanyaan dari waodemuliana31 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari $\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2(x+4^2)}} \, dx$ adalah $\boldsymbol{-\frac{2}{125}ln|x-1|-\frac{1}{25(x-1)}+\frac{2}{125}ln|x+4|-\frac{1}{25(x+4)}+C}$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx$

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut

$(i)~\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C,~~~dengan~C=konstanta$

$(ii)~\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx$

$(iii)~\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx$

$(iv)~\int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)$

Untuk mengintegralkan fungsi rasionalberbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ kita bisa dekomposisi fungsi tersebut terlebih dahulu menjadipecahan pecahan parsial. Lalu kita integralkan tiap tiap pecahan parsialnya.

DIKETAHUI

$\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2(x+4^2)}} \, dx=$

DITANYA

Tentukan hasil integralnya.

PENYELESAIAN

Misal :

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+4}+\frac{D}{(x+4)^2}$

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{A(x-1)(x+4)^2+B(x+4)^2+C(x-1)^2(x+4)+D(x-1)^2}{(x-1)^2(x+4)^2}$

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{A(x-1)(x^2+8x+16)+B(x^2+8x+16)+C(x^2-2x+1)(x+4)+D(x^2-2x+1)}{(x-1)^2(x+4)^2}$

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{A(x^3+7x^2+8x-16)+Bx^2+8Bx+16B+C(x^3+2x^2-7x+4)+Dx^2-2Dx+D}{(x-1)^2(x+4)^2}$

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{Ax^3+7Ax^2+8Ax-16A+Bx^2+8Bx+16B+Cx^3+2Cx^2-7Cx+4C+Dx^2-2Dx+D}{(x-1)^2(x+4)^2}$

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{(A+C)x^3+(7A+B+2C+D)x^2+(8A+8B-7C-2D)x+(-16A+16B+4C+D)}{(x-1)^2(x+4)^2}$

Dengan menyamakan kedua ruas, kita peroleh 4 persamaan :

> Untuk koefisien x³ :

$A+C=0$

$C=-A~~~~~~...(i)$

> Untuk koefisien x² :

$7A+B+2C+D=0$

$7A+B+2(-A)+D=0$

$5A+B+D=0$

$D=-5A-B~~~~~~...(ii)$

> Untuk koefisien x :

$8A+8B-7C-2D=0$

$8A+8B-7(-A)-2(-5A-B)=0$

$8A+8B+7A+10A+2B=0$

$25A+10B=0$

$B=-\frac{25}{10}A~~~~~~...(iii)$

> Untuk konstanta :

$-16A+16B+4C+D=1$

$-16A+16\left ( -\frac{25}{10}A \right )+4(-A)+(-5A-B)=1$

$-20A+16\left ( -\frac{25}{10}A \right )-5A-\left ( -\frac{25}{10}A \right )=1$

$-25A-\frac{400}{10}A+\frac{25}{10}A=1~~~~~~...kedua~ruas~dikali~10$

$-250A-400A+25A=10$

$-625A=10$

$A=-\frac{10}{625}$

$A=-\frac{2}{125}$

Cari nilai B :

$B=-\frac{25}{10}A$

$B=-\frac{25}{10}\left ( -\frac{2}{125} \right )$

$B=\frac{1}{25}$

Cari nilai C :

$C=-A$

$C=\frac{2}{125}$

Cari nilai D :

$D=-5A-B$

$D=-5\left ( -\frac{2}{125} \right )-\frac{1}{25}$

$D=\frac{1}{25}$

Maka :

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+4}+\frac{D}{(x+4)^2}$

$\frac{1}{(x-1)^2(x+4)^2}=-\frac{2}{125(x-1)}+\frac{1}{25(x-1)^2}+\frac{2}{125(x+4)}+\frac{1}{25(x+4)^2}$

Bentuk di atas sudah dapat kita cari hasil integralnya.

$\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2(x+4^2)}} \, dx$

$=\int\limits {\left [ -\frac{2}{125(x-1)}+\frac{1}{25(x-1)^2}+\frac{2}{125(x+4)}+\frac{1}{25(x+4)^2} \right ]} \, dx$

$=\int\limits {\left [ -\frac{2}{125(x-1)}+\frac{1}{25}(x-1)^{-2}+\frac{2}{125(x+4)}+\frac{1}{25}(x+4)^{-2} \right ]} \, dx$

$=-\frac{2}{125}ln|x-1|+\frac{1}{25(-2+1)}(x-1)^{(-2+1)}+\frac{2}{125}ln|x+4|+\frac{1}{25(-2+1)}(x+4)^{(-2+1)}+C$

$=-\frac{2}{125}ln|x-1|-\frac{1}{25}(x-1)^{-1}+\frac{2}{125}ln|x+4|-\frac{1}{25}(x+4)^{-1}+C$

$=-\frac{2}{125}ln|x-1|-\frac{1}{25(x-1)}+\frac{2}{125}ln|x+4|-\frac{1}{25(x+4)}+C$

KESIMPULAN

Hasil dari $\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2(x+4^2)}} \, dx$ adalah $\boldsymbol{=-\frac{2}{125}ln|x-1|-\frac{1}{25(x-1)}+\frac{2}{125}ln|x+4|-\frac{1}{25(x+4)}+C}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral pecahan parsial : yomemimo.com/tugas/30067184
Integral pecahan parsial : yomemimo.com/tugas/29527760
Mencari luas daerah kurva : yomemimo.com/tugas/28906413

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral Tak Tentu

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, antiturunan, fungsi, rasional, pecahan, parsial.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 09 Jul 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Integral 1 /(x-1)² (x+4)²

Jawaban dan Penjelasan

PEMBAHASAN

DIKETAHUI

DITANYA

PENYELESAIAN

KESIMPULAN

PELAJARI LEBIH LANJUT

DETAIL JAWABAN

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika