Selesaikan dengan cara parsial dari : 5x²-77 per x²-22x+40

Berikut ini adalah pertanyaan dari priantoarios76 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Selesaikan dengan cara parsial dari :
5x²-77 per x²-22x+40

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Hasil~dari~\int {\frac{5x^2-77}{x^2-22x+40}} \, dx~adalah~5x+\frac{19}{6}ln|x-2|+\frac{641}{6}ln|x-20|+C\\$

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut

$\int {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C~~~~~,dengan~C=konstanta\\\\\int {kf(x)} \, dx=k\int {f(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)+g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx+\int {g(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)-g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx-\int {g(x)} \, dx$

Untuk mengintegralkan fungsi rasional berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ kita bisa dekomposisi fungsi tersebut terlebih dahulu menjadi pecahan pecahan parsial. Lalu kita integralkan tiap tiap pecahan parsialnya.

DIKETAHUI

$\int {\frac{5x^2-77}{x^2-22x+40}} \, dx=$

DITANYA

Tentukan hasil integral tak tentu fungsi rasional tersebut.

PENYELESAIAN

Kita sederhanakan terlebih dahulu bentuk fungsi rasionalnya.

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5~~\to~hasil~bagi\\\\x^2-22x+40~/~5x^2-77\\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5x^2-110x+200\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--------~~-\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~110x-277~~~\to~sisa~bagi\\$

Maka : $\frac{5x^2-77}{x^2-22x+40}=5+\frac{110x-277}{x^2-22x+40}\\$

Lalu kita pecahkan fungsi rasional tersebut menjadi pecahan pecahan parsial terlebih dahulu. Misal :

$\frac{110x-277}{x^2-22x+40}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-20)}\\\\\frac{110x-277}{x^2-22x+40}=\frac{A(x-20)+B(x-2)}{(x-2)(x-20)}\\\\\frac{110x-277}{x^2-22x+40}=\frac{(A+B)x+(-20A-2B)}{x^2-22x+40}\\$

Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :

$A+B=110\\\\B=110-A~~~~~...(i)\\\\\\-20A-2B=-277~~~~~~~~...substitusi~pers.(i)\\\\-20A-2(110-A)=-277\\\\-20A-220+2A=-277\\\\-18A=-57\\\\A=\frac{19}{6}\\\\\\B=110-A\\\\B=110-\frac{19}{6}\\\\B=\frac{641}{6}\\$

Sehingga $\frac{5x^2-77}{x^2-22x+40}=5+\frac{19}{6(x-2)}+\frac{641}{6(x-20)}\\$

Mari kita cari hasil integralnya.

$\int {\frac{5x^2-77}{x^2-22x+40}} \, dx\\\\=\int {5+\frac{19}{6(x-2)}+\frac{641}{6(x-20)}} \, dx\\\\=5x+\frac{19}{6}ln|x-2|+\frac{641}{6}ln|x-20|+C\\$

KESIMPULAN

$Hasil~dari~\int {\frac{5x^2-77}{x^2-22x+40}} \, dx~adalah~5x+\frac{19}{6}ln|x-2|+\frac{641}{6}ln|x-20|+C\\$

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral pecahan parsial : yomemimo.com/tugas/29527760
Integral fungsi : yomemimo.com/tugas/29299793
Mencari luas daerah kurva : yomemimo.com/tugas/28906413

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral Tak Tentu

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, antiturunan, fungsi, rasional, pecahan, parsial.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 13 Sep 20

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah