Jawab:

n = –15

Sifat asosiatif yang berlaku adalah:

• ((f ∘ g) ∘ f)(x) = (f ∘ (g ∘ f))(x), dan
• ((g ∘ f) ∘ g)(x) = (g ∘ (f ∘ g))(x)

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Fungsi Komposisi

Mencari nilai n

f : ℝ→ℝ dengan f(x) = 4x + n

g : ℝ→ℝ dengan g(x) = 3x – 10

⇒ (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x)

⇒ f(g(x)) = g(f(x))

⇒ f(3x - 10) = g(4x + n)

⇒ 4(3x - 10) + n = 3(4x + n) – 10

⇒ 12x – 40 + n = 12x + 3n – 10

   .... kedua ruas dikurangi 12x

⇒ –40 + n = 3n – 10

   .... kedua ruas ditambah 40

⇒ n = 3n – 10 + 40

⇒ n = 3n + 30

   .... kedua ruas dikurangi 3n

⇒ n – 3n = 30

⇒ –2n = 30

   .... kedua ruas dibagi –2

⇒ n = 30/(–2)

⇒ n = –15

∴  Nilai n yang memenuhi adalah –15.

_____________________________

Verifikasi

Dengan nilai n yang telah diperoleh di atas, maka:

• f(x) = 4x – 15
• g(x) = 3x – 10

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

             = f(3x – 10)

             = 4(3x – 10) – 15

             = 12x – 40 – 15

(f ∘ g)(x) = 12x – 55

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

             = g(4x – 15)

             = 3(4x – 15) – 10

             = 12x – 45 – 10

(g ∘ f)(x) = 12x – 55

Sehingga diperoleh bahwa:

(f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x)

_____________________________

Mencari Sifat Asosiatif

(f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x) memenuhi sifat komutatif (kejadian khusus), sehingga berlaku pula sifat asosiatif “khusus“ berikut ini.

Sifat asosiatif pertama

((f ∘ g) ∘ f)(x) = (f ∘ (g ∘ f))(x)

⇒ (f ∘ g)(f(x)) = f((g ∘ f)(x))

⇒ (f ∘ g)(4x – 15) = f(12x – 55)

⇒ 12(4x – 15) – 55 = 4(12x – 55) – 15

⇒ 48x – 180 – 55 = 48x – 220 – 15

⇒ 48x – 235 = 48x – 235

⇒ Ruas kanan = ruas kiri

∴  Sehingga, sifat asosiatif pertama berlaku, yaitu:

((f ∘ g) ∘ f)(x) = (f ∘ (g ∘ f))(x)

Sifat asosiatif kedua

((g ∘ f) ∘ g)(x) = (g ∘ (f ∘ g))(x)

⇒ (g ∘ f)(g(x)) = g(f ∘ g)(x))

⇒ (g ∘ f)(3x – 10) = g(12x – 55)

⇒ 12(3x – 10) – 55 = 3(12x – 55) – 10

⇒ 36x – 120 – 55 = 36x – 165 – 10

⇒ 36x – 175 = 36x – 175

⇒ Ruas kanan = ruas kiri

Sehingga, sifat asosiatif kedua berlaku, yaitu:

((g ∘ f) ∘ g)(x) = (g ∘ (f ∘ g))(x)

Dengan demikian, sifat asosiatif yang berlaku adalah:

• ((f ∘ g) ∘ f)(x) = (f ∘ (g ∘ f))(x), dan
• ((g ∘ f) ∘ g)(x) = (g ∘ (f ∘ g))(x)