tulunggbantu gan susah bner

Berikut ini adalah pertanyaan dari Rynzn pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tulungg

bantu gan susah bner
tulunggbantu gan susah bner

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}&\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=\boxed{\:\bf\frac{2}{3}\sqrt{3}-1\:}\end{aligned}$
 

Pembahasan

Trigonometri

Perhatikan identitas trigonometri berikut.

$\begin{aligned}\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}&\sin(\alpha+\beta)\\&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\&=\sin\alpha\cos\beta+2\cos\alpha\sin\beta-\cos\alpha\sin\beta\\&=\left(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\right)+2\cos\alpha\sin\beta\\&=\sin(\alpha-\beta)+2\cos\alpha\sin\beta\quad...(i)\end{aligned}$

Karena $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ ,

$\begin{aligned}&\cos\alpha\sin\beta\\&=\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)\quad...(ii)\end{aligned}$

Substitusikan $(ii)$ ke dalam $(i)$ .

$\begin{aligned}&\sin(\alpha+\beta)\\&=\sin(\alpha-\beta)+2\left ( \sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta) \right )\\&=\sin(\alpha-\beta)-2\sin(\alpha-\beta)+2\sin\alpha\cos\beta\\&=2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)\quad...(iii)\end{aligned}$

Oleh karena itu, berdasarkan $(iii)$ , dapat diperoleh:

$\begin{aligned}&\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}\\&=\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}\\&=\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\alpha-\beta)}-\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}\\&=\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\alpha-\beta)}-1\\&=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}-1\\&=\frac{2}{\sqrt{3}}-1\\&=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)-1\\&=\boxed{\:\bf\frac{2}{3}\sqrt{3}-1\:}\end{aligned}$