diketahuu f(x) = 5x + 6 , g invers =

Berikut ini adalah pertanyaan dari bellalovina5 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

diketahuu f(x) = 5x + 6 , g invers = x - 5 / 5x - 9 dan h bundaran g invers = 3x - 11 . rumus f invers bundaran g bundaran h adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\left(f^{-1} \circ g \circ h \right)^{-1}(x) \: = \frac{2465x+2157}{1325x+1161} \: \quad \:, \: x \neq -\frac{1161}{1325} \\ \\$

PEMBAHASAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep komposisi dan invers fungsi.

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi oleh dua atau lebih fungsi yang bertujuan untuk membentuk satu fungsi baru.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: g \: \text{ pada fungsi } \: f \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: f \: \text{ pada fungsi } \: g \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\$

Invers fungsi adalah balikan dari suatu fungsi. Dengan kata lain, invers fungsi adalah balikan dalam bentuk fungsi.

$\text{Misal } \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(x) \: \: . \\ \\ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ \\ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ \\$

DIKETAHUI :

$f(x) = 5x+6 \: \:, \: \: g^{-1}(x) = \frac{x-5}{5x-9} \: \:, \: x \neq \frac{9}{5} \: \:, \: \text{ dan } \: (h \circ g) ^{-1}(x) = 3x-11 \: \:. \\ \\$

DITANYA :

$\left( f^{-1} \circ g \circ h \right)^{-1}(x) \: \:. \\ \\$

JAWAB :

(i).

$\text{Tentukan } \: g(x) \: \:. \\ \\$

$\text{Misal } \: y = g^{-1}(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = g(y) \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} g^{-1}(x) & \: = \frac{x-5}{5x-9} \\ \\ y \: & = \frac{x-5}{5x-9} \: \quad \: (\: \text{ kalikan silang pada kedua ruas } \:) \\ \\ 5xy - 9y \: & = x-5 \\ \\ 5xy-x \: & = 9y-5 \\ \\ x(5y-1) \: & = 9y-5 \\ \\ x \: & = \frac{9y-5}{5y-1} \\ \\ g(y) \: & = \frac{9y-5}{5y-1} \\ \\ g(x) \: & = \frac{9x-5}{5x-1} \: \quad \:, \: x \neq \frac{1}{5} \\ \\ \end{aligned}$

(ii).

$\text{Tentukan } \: h^{-1}(x) \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} h^{-1}(x) & \: = \left( g \circ (h \circ g)^{-1} \right)(x) \\ \\ \: & = g(3x -11) \\ \\ \: & = \frac{9(3x-11)-5}{5(3x-11)-1} \\ \\ h^{-1}(x) \: & = \frac{27x-104}{15x-56} \: \quad \:, \: x \neq \frac{56}{15} \\ \\ \end{aligned}$

(iii).

$\text{Tentukan } \: \left(g^{-1} \circ f \right)(x) \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} \left(g^{-1} \circ f \right)(x) & \: = g^{-1}(5x+6) \\ \\ \: & = \frac{(5x+6)-5}{5(5x+6)-9} \\ \\ \: & = \frac{5x+1}{25x+21} \: \quad \:, \: x \neq -\frac{21}{25} \\ \\ \end{aligned}$

(iv).

$\text{Tentukan } \: \left(f^{-1} \circ g \circ h \right)^{-1}(x) \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} \left(f^{-1} \circ g \circ h \right)^{-1}(x) & \: = \left( h^{-1} \circ g^{-1} \circ f \right) \\ \\ \: & = h^{-1} \left( g^{-1} \left( f(x) \right) \right) \\ \\ \: & = h^{-1} \left( g^{-1} \left( 5x+6 \right) \right) \\ \\ \: & = h^{-1} \left( \frac{5x+1}{25x+21} \right) \\ \\ \: & = \frac{27\left( \frac{5x+1}{25x+21} \right)-104}{15 \left( \frac{5x+1}{25x+21} \right)-56} \\ \\ \: & = \frac{ \frac{27(5x+1)-104(25x+21)}{25x+21} }{ \frac{15(5x+1)-56(25x+21)}{25x+21} } \\ \\ \: & = \frac{27(5x+1)-104(25x+21)}{15(5x+1)-56(25x+21)} \\ \\ \: & = \frac{(135x- 2600x) + (27 - 2184)}{(75x-1400x) + (15- 1176)} \\ \\ \: & = \frac{-2465x -2157}{-1325x-1161} \\ \\ \: & = \frac{2465x+2157}{1325x+1161} \: \quad \:, \: x \neq -\frac{1161}{1325} \\ \\ \end{aligned}$