Jawab:

• x = 1,
• x = –2/3,
• x = √2, dan
• x = –√2.

Pembahasan

Persamaan yang ingin dicari akar-akar realnya adalah:

3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = 0

Koefisien variabel dengan pangkat tertinggi (x⁴) adalah 3. Sedangkan konstantanya adalah 4.

Oleh karena itu, berdasarkan teorema akar rasional, kita dapat mencari salah satu akar yang merupakan salah satu dari:

± (faktor-faktor dari 4) / (faktor-faktor dari 3)

• Faktor dari 4 adalah 1, 2, dan 4.
• Faktor dari 3 adalah 1 dan 3.

Kita coba +1/1 = 1.

3(1⁴) – 1³ – 8(1²) + 2(1) + 4

= 3 – 1 – 8 + 2 + 4

= 2 – 8 + 6

= –6 + 6

= 0

⇒ x = 1 adalah salah satu akar 3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = 0

⇒ Salah satu faktor dari 3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 adalah (x – 1).

3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = (x – 1)(3x³ + 2x² – 6x – 4)

⇔ (x – 1)(3x³ + 2x² – 6x – 4) = 0

Selanjutnya, faktorkan 3x³ + 2x² – 6x – 4 = 0.

3x³ + 2x² – 6x – 4 = 0

⇔ 3x³ – 6x + 2x² – 4 = 0

⇔ 3x(x² – 2) + 2(x² – 2) = 0

⇔ (3x + 2)(x² – 2) = 0

⇔ 3x + 2 = 0  ⇒ x = –2/3

Kita telah memperoleh akar real kedua, yaitu –2/3.

Lalu, (x² – 2) = 0.

x² = 2

⇔ x = ±√2

⇔ x = √2  atau  x = –√2

√2 adalah bilangan irrasional. Bilangan irrasional termasuk dalam himpunan bilangan real. Oleh karena itu, ±√2 ∈ ℝ, sehingga akar real ketiga dan keempat persamaan tersebut adaah √2dan–√2.

KESIMPULAN

∴  Akar-akar real dari persamaan 3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = 0 adalah:

• x = 1,
• x = –2/3,
• x = √2, dan
• x = –√2.