1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

(No NGASAL, BAHASA ALIEN, dan COPAS)Kuis Matriks dan Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah pertanyaan dari ridhovictor4 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

(No NGASAL, BAHASA ALIEN, dan COPAS)Kuis Matriks dan Persamaan Kuadrat :

Terdapat persamaan kuadrat :

a\boldsymbol{X}^2 + b\boldsymbol{X} + c = \boldsymbol{0}_n = a\boldsymbol{X}^2 + b\boldsymbol{X} + c\cdot \boldsymbol{I}_n\\\\ \to \boldsymbol{I}_n = \left[\begin{array}{cccc}1&0&\hdots&0\\0&1&\hdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\hdots&1\end{array}\right], \boldsymbol{0}_n = \left[\begin{array}{cccc}0&0&\hdots&0\\0&0&\hdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\hdots&0\end{array}\right]

1. Jika X adalah matriks persegi berdimensi n maka tentukanlah X (dalam bentuk matriks) ! (Mudah)

2. Jika C dan X adalah matriks persegi berdimensi 2, serta C merupakan matriks persegi atas \text{($c_3$ = 0)}, tentukanlah X (dalam bentuk matriks) !

\bold{C} = \left[\begin{array}{ccc}c_1&c_2\\0&c_4\end{array}\right]

(Sulit ; tidak wajib)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab 1.) :

perhatikan

     a\bf{X}^2+b\bf{X}+c\bf{I}_n = \bf{0}_n \\\\\bf{X}^2+2\frac{b}{2a} \bf{X}= -\frac{c}{a} \bf{I}_n \\\\\bf{X}^2+2\frac{b}{2a} \bf{X} +(\frac{b}{2a})^2\bf{I}_n = [(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}]\bf{I}_n \\\\\ (\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_n )^2 = [\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ]\bf{I}_n

kita dapat memilih  (\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_n )sebagai salah satu kandidat akar kuadrat dari(\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_n )^2 dan memilih  [\pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]\bf{I}_n  sebagai salah satu kandidat akar kuadrat dari [\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ]\bf{I}_n ,maka didapat

       (\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_n ) = [\frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]\bf{I}_n \\\\\\\ \bf{X} = [\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]\bf{I}_n

 

Jawab 2.) :

Jika \bf{C} adalah matriks seperti yang diberikan pada soal, maka didapat

a\bf{X}^2+b\bf{X}=-\bf{C} \\\\\bf{X}^2+2\frac{b}{2a} \bf{X}= -\frac{1}{a} \bf{C}\\\\\bf{X}^2+2\frac{b}{2a} \bf{X} +(\frac{b}{2a})^2\bf{I}_2 = (\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C} \\\\\ (\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_2 )^2 = (\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C}(⊕)

sama seperti sebelumnya, kita dapat memilih  (\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_n )sebagai salah satu kandidat akar kuadrat dari(\bf{X} + \frac{b}{2a}\bf{I}_n )^2

untuk mencari salah satu kandidat akar kuadrat dari  (\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C} , perhatikan bahwa (\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C} memiliki nilai eigen dan vektor eigen sebagai berikut.

\lambda_1 = (b^2-4ac_1)/(4a^2)dengan vektor eigenv_1 = ( 1,0)

\lambda_2 = (b^2-4ac_4)/(4a^2)dengan vektor eigenv_2 = (c_2, c_4-c_1)

maka (\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C} dapat didekomposisi sebagai berikut

       

(\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C} = \left[\begin{array}{cc}1& c_2\\ 0&c_4-c_1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}(b^2-4ac_1)/(4a^2)& 0\\ 0&(b^2-4ac_4)/(4a^2)\end{array}\right]

                     \left[\begin{array}{cc}1& c_2\\ 0&c_4-c_1\end{array}\right] ^{-1}

sehingga salah satu kandidat akar kuadrat (\frac{b}{2a})^2 I_2-\frac{1}{a} \bf{C}  adalah

\left[\begin{array}{cc}1& c_2\\ 0&c_4-c_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\pm\sqrt{b^2-4ac_1}/(2a)& 0\\ 0&\pm \sqrt{b^2-4ac_4}/(2a)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& c_2\\ 0&c_4-c_1\end{array}\right]^{-1}

sehingga dari persamaan (⊕) didapat

\bf{X} = - \frac{b}{2a}\bf{I}_2 +\left[\begin{array}{cc}1& c_2\\ 0&c_4-c_1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\pm\sqrt{b^2-4ac_1}/(2a)& 0\\ 0&\pm \sqrt{b^2-4ac_4}/(2a)\end{array}\right]\\\left[\begin{array}{cc}1& c_2\\ 0&c_4-c_1\end{array}\right]^{-1}

Kalau mau coba solusi no 2 di python (masukan a,b, dan matriks C)

butuh numpy

import numpy as np

# scalars (pasang bebas)

a = 7

b = -10

# matrix (pasang bebas kecuali elemen ketiga harus nol)

C = np.matrix([[3, 2],[0, -7]])

eigvec = np.matrix([[1, C[0,1] ],[0, C[1,1]-C[0,0] ] ] )

eigval = np.matrix([[np.sqrt(b**(2)-4*a*C[0,0]+0J)/(2*a), 0 ],

       [0,np.sqrt(b**(2)-4*a*C[1,1]+0J)/(2*a) ] ] )

X = np.matrix([[-b/(2*a), 0],[0, -b/(2*a)]]) + np.matmul(eigvec,np.matmul(eigval, np.linalg.inv(eigvec) ))

print(a*np.matmul(X,X)+b*X+C)

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh faggot dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 15 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>