penyelesaian himpunan pertidaksamaan dari |x+1|²+|2x+4|>2

Berikut ini adalah pertanyaan dari yayandisaputra03 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Penyelesaian himpunan pertidaksamaan dari |x+1|²+|2x+4|>2

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Himpunan penyelesaian dari} \: \: \: \left|x+1\right|^{2} + \left|2x+4\right| > 2 \\ \\ \text{adalah} \: \: \: \{ \: x \: \vert \: x < - \sqrt{5} \: \: \: \text{atau} \: \: \: x > - 1 \: \: , \: \: x \in \mathbb{R} \: \} \: \: . \\ \\$

Pembahasan

Definisi nilai mutlak

$|x| = x \: \: , \: \: jika \: \: x \ge 0 \\ \\ |x| = - x \: \: , \: \: jika \: \: x < 0 \\ \\$

Sifat Nilai Mutlak

$\left | x \right | = \sqrt{x^{2}} \\ \\$

Diketahui :

$\left|x+1\right|^{2} + \left|2x+4\right| > 2 \\ \\$

Ditanya :

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Jawab :

Sebelum menentukan penyelesaian pertidaksamaan, alangkah baiknya sudah mengetahui pembuat nol nilai mutlak pada pertidaksamaan tersebut untuk menentukan batasan nilai x yang memenuhi.

Pembuat nol untuk |x + 1| adalah x = -1 sedangkan pembuat untuk |2x + 4| adalah x = -2. Kemudian dilanjutkan dengan menentukan nilai x yang memenuhi sesuai dengan definisi nilai mutlak.

$\text{Untuk} \: \: x < -2 \\ \\$

$\begin{aligned}\left|x+1\right|^{2} + \left|2x+4\right| & \: > 2 \\ \\ \left( - (x + 1) \right)^{2} - (2x + 4) \: & > 2 \\ \\ {x}^{2} - 3 \: & > 2 \\ \\ {x}^{2} - 5 \: & > 0 \\ \\ (x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5} ) \: & > 0 \\ \\ \end{aligned}\\$

$x < - \sqrt{5} \: \: \text{atau} \: \: x > \sqrt{5} \\ \\ x < - \sqrt{5} \: \: ( \: \text{memenuhi} \: ) \\ \\ x > \sqrt{5} \: \: ( \: \text{memenuhi} \: ) \\ \\$

$\text{Untuk} \: \: - 2 \le x < -1 \\ \\$

$\begin{aligned}\left|x+1\right|^{2} + \left|2x+4\right| & \: > 2 \\ \\ \left( - (x + 1) \right)^{2} + (2x + 4) \: & > 2 \\ \\ {x}^{2} + 4x + 5 \: & > 2 \\ \\ {x}^{2} + 4x + 3 \: & > 0 \\ \\ (x +3)(x + 1) \: & > 0 \\ \\ \end{aligned}\\$

$x < - 3 \: \: \text{atau} \: \: x > - 1 \\ \\ x < - 3 \: \: ( \: \text{memenuhi} \: ) \\ \\ x > - 1 \: \: ( \: \text{memenuhi} \: ) \\ \\$

$\text{Untuk} \: \: x \ge -1 \\ \\$

$\begin{aligned}\left|x+1\right|^{2} + \left|2x+4\right| & \: > 2 \\ \\ (x + 1)^{2} + (2x + 4) \: & > 2 \\ \\ {x}^{2} + 4x + 5 \: & > 2 \\ \\ {x}^{2} + 4x + 3 \: & > 0 \\ \\ (x +3)(x + 1) \: & > 0 \\ \\ \end{aligned}\\$

$x < - 3 \: \: \text{atau} \: \: x > - 1 \\ \\ x < - 3 \: \: ( \: \text{memenuhi} \: ) \\ \\ x > - 1 \: \: ( \: \text{memenuhi} \: ) \\ \\$

$\left[(- \infty, - \sqrt{5}) \cup ( \sqrt{5}, \infty) \right] \cap \left[(- \infty, - 3) \cup ( -1 , \infty) \right] \\ \\ \left(- \infty, - \sqrt{5} \right) \cup \left( -1 , \infty \right) \\ \\$

Kesimpulan :

Berdasarkan langkah-langkah di atas dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari

$\left|x+1\right|^{2} + \left|2x+4\right| > 2 \\ \\ \text{adalah} \: \: \: \{ \: x \: \vert \: x < - \sqrt{5} \: \: \: \text{atau} \: \: \: x > - 1 \: \: , \: \: x \in \mathbb{R} \: \} \: \: . \\ \\$