Quiz (+50): Diketahui fungsi f(x), turunannya: [tex]\displaystyle\sf f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] ∴ asimtot dari fungsi

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Quiz (+50):Diketahui fungsi f(x), turunannya:
$\displaystyle\sf f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$
∴ asimtot dari fungsi f(x), adalah:
(a.) y = ±½x + C
(b.) 2y = ±x + C
(c.) y = ±4x + C
(d.) 2y = ±2x + C
(e.) y = ±2x + C

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

y = ±2x + C

Pembahasan

Asimtot Fungsi

Diberikan turunan dari fungsi f(x):

$f'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$

Untuk menentukan asimtot dari f(x), kita cari f(x)-nya terlebih dahulu.

$\begin{aligned}\Biggl.f(x)&=\int{\left (f'(x) \right )dx}\\\Biggl.&=\int{\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx}\\\Biggl.&=2\cdot\int{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx}\\&\Biggl.\quad\left[\ \textsf{ambil $u=1+x^2$}\right.\\\Biggl.&=2\cdot\int{\frac{x}{\sqrt{u}}\,dx}\\\Biggl.&\quad\left[\ \frac{du}{dx}=2x\iff dx=\frac{du}{2x}\right.\end{aligned}$

$\begin{aligned}\Biggl.f(x)&=2\cdot\int{\frac{\cancel{x}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2\cancel{x}}\,du}\\\Biggl.&=\cancel{2}\cdot\int{\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{u}}\,du}\\\Biggl.&=\int{\frac{1}{\sqrt{u}}\,du}\ =\ \int{u^{-\frac{1}{2}}\,du}\\\Biggl.&=\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C\\\Biggl.&=2\sqrt{u}+C\\&\Biggl.\quad\left[\ \textsf{substitusi $u$ dengan $1+x^2$}\right.\\\Biggl.f(x)&=2\sqrt{1+x^2}+C\\\end{aligned}$

Asimtot Tegak

Fungsi $f(x)=2\sqrt{1+x^2}+C$ tidak memiliki asimtot tegak, karena tidak ada nilai a yang memenuhi

$\lim\limits_{x\to\,a}\left(2\sqrt{1+x^2}+C\right)={}\pm\infty$ .

Asimtot Mendatar

Fungsi $f(x)=2\sqrt{1+x^2}+C$ tidak memiliki asimtot mendatar dalam bentuk y = a.

Kita periksa apakah f(x) memiliki asimtot "mendatar" dalam bentuk y = mx + c.

Mencari nilai m dari asimtot y = mx + c

Kita tahu bahwa gradien garis singgung grafik sebuah fungsi dapat ditentukan dari turunannya. Sehingga, asimtot dalam bentuk y = mx + c, yang tidak benar-benar mendatar karena tergantung nilai m, nilai gradiennya dapat ditentukan dengan nilai limit $f'(x)$ untuk $x\to\,\pm\infty$ .

$\begin{aligned}\Biggl.m&=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\\\Biggl.&=2\cdot\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\\Biggl.&=2\cdot\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}\\\Biggl.&=2\cdot\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\Biggl.&\quad\left[\ x\to\pm\infty\implies\sqrt{x^2}={}\pm x\right.\\\Biggl.m&=2\cdot\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\cancel{x}}{{}\pm \cancel{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}\\\Biggl.&=2\cdot\lim_{x\to\pm\infty}\frac{{}\pm1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}\\\Biggl.&=2\cdot\frac{{}\pm1}{\sqrt{0+1}}\\m&=\pm\,2\end{aligned}$