tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-5)²+(y-3)²=4 di titik (1, 2)

Berikut ini adalah pertanyaan dari ronayudi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-5)²+(y-3)²=4 di titik (1, 2)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan garis singgung lingkaran $(x-5)^2+(y-3)^2=4$ di titik (1,2) adalah $\boldsymbol{y=\frac{2+\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}$ atau $\boldsymbol{y=\frac{2-\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}$ .

PEMBAHASAN

Terdapat dua jenis persamaan garis singgung pada lingkaran, yaitu garis singgung yang ditarik dari titik pada lingkaran dan garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran.

Dengan menggunakan syarat D = 0, kita bisa mencari gradien garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah

$y-b=m(x-a)$

DIKETAHUI

Persamaan lingkaran $(x-5)^2+(y-3)^2=4$

DITANYA

Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,2).

PENYELESAIAN

> Cek kedudukan titik (1,2) terhadap lingkaran.

$(x-5)^2+(y-3)^2=4$

$(1-5)^2+(2-3)^2=4$

$16+1> 4$

$17> 4$

Karena hasilnya > r² maka titik (1,2) berada di luar lingkaran.

> Tentukan persamaan garis singgungnya.

Misal persamaan garis singgungnya adalah $y-b=m(x-a)$ .

Karena melalui titik (1, 2) maka memenuhi :

$y-2=m(x-1)$

$y=mx-m+2~~~~~~...(i)$

Substitusikan persamaan (i) kedalam lingkaran.

$(x-5)^2+(y-3)^2=4$

$(x-5)^2+(mx-m+2-3)^2=4$

$(x-5)^2+(mx-m-1)^2=4$

$x^2-10x+25+(mx-m)^2-2(mx-m)+1=4$

$x^2-10x+25+m^2x^2-2m^2x+m^2-2mx+2m+1=4$

$(m^2+1)x^2-2(m^2+m+5)x+(m^2+2m+22)=0$

Bentuk diatas merupakan bentuk persamaan kuadrat dengan :

$a=m^2+1$

$b=-2(m^2+m+5)$

$c=m^2+2m+22$

Syarat garis dan lingkaran berpotongan adalah D = 0

$b^2-4ac=0$

$[-2(m^2+m+5)^2]-4(m^2+1)(m^2+2m+22)=0$

$4(m^2+m+5)^2-4(m^2+1)(m^2+2m+22)=0$

$(m^2+m+5)^2-(m^2+1)(m^2+2m+22)=0$

$(m^2+m)^2+10(m^2+m)+25-(m^4+2m^3+22m^2+m^2+2m+22)=0$

$m^4+2m^3+m^2+10m^2+10m+25-m^4-2m^3-22m^2-m^2-2m-22=0$

$-12m^2+8m+3=0$

$12m^2-8m-3=0$

Untuk mencari nilai m kita gunakan rumus ABC.

$m_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$m_{1,2}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4(12(-3)}}{2(12)}$

$m_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{208}}{24}$

$m_{1,2}=\frac{8\pm4\sqrt{13}}{24}$

$m_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{13}}{6}$

$m_1=\frac{2+\sqrt{13}}{6}$

$m_2=\frac{2-\sqrt{13}}{6}$

Diperoleh 2 nilai gradien. Kita substitusikan nilai gradien tersebut ke persamaan garis singgungnya.

Untuk $m=\frac{2+\sqrt{13}}{6}$ :

$y=m(x-1)+2$

$y=\frac{2+\sqrt{13}}{6}(x-1)+2$

Untuk $m=\frac{2-\sqrt{13}}{6}$ :

$y=m(x-1)+2$

$y=\frac{2-\sqrt{13}}{6}(x-1)+2$

KESIMPULAN

Persamaan garis singgung lingkaran $(x-5)^2+(y-3)^2=4$ di titik (1,2) adalah $\boldsymbol{y=\frac{2+\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}$ atau $\boldsymbol{y=\frac{2-\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

PGS dari titik di luar lingkaran : yomemimo.com/tugas/29594472
PGS dari titik di luar lingkaran : yomemimo.com/tugas/27697087
PGS lingkaran dengan gradien tertentu : yomemimo.com/tugas/29521145

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Lingkaran

Kode Kategorisasi: 11.2.5.1

Kata Kunci : persamaan, lingkaran, garis, singgung, diskriminan.

$Persamaan garis singgung lingkaran [tex](x-5)^2+(y-3)^2=4[/tex] di titik (1,2) adalah [tex]\boldsymbol{y=\frac{2+\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}[/tex] atau [tex]\boldsymbol{y=\frac{2-\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}[/tex].PEMBAHASANTerdapat dua jenis persamaan garis singgung pada lingkaran, yaitu garis singgung yang ditarik dari titik pada lingkaran dan garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran.Dengan menggunakan syarat D = 0, kita bisa mencari gradien garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah[tex]y-b=m(x-a)[/tex].DIKETAHUIPersamaan lingkaran [tex](x-5)^2+(y-3)^2=4[/tex].DITANYATentukan persamaan garis singgung di titik (1,2)..PENYELESAIAN> Cek kedudukan titik (1,2) terhadap lingkaran.[tex](x-5)^2+(y-3)^2=4[/tex][tex](1-5)^2+(2-3)^2=4[/tex][tex]16+1> 4[/tex][tex]17> 4[/tex].Karena hasilnya > r² maka titik (1,2) berada di luar lingkaran..> Tentukan persamaan garis singgungnya.Misal persamaan garis singgungnya adalah [tex]y-b=m(x-a)[/tex].Karena melalui titik (1, 2) maka memenuhi :[tex]y-2=m(x-1)[/tex][tex]y=mx-m+2~~~~~~...(i)[/tex].Substitusikan persamaan (i) kedalam lingkaran.[tex](x-5)^2+(y-3)^2=4[/tex][tex](x-5)^2+(mx-m+2-3)^2=4[/tex][tex](x-5)^2+(mx-m-1)^2=4[/tex][tex]x^2-10x+25+(mx-m)^2-2(mx-m)+1=4[/tex][tex]x^2-10x+25+m^2x^2-2m^2x+m^2-2mx+2m+1=4[/tex][tex](m^2+1)x^2-2(m^2+m+5)x+(m^2+2m+22)=0[/tex].Bentuk diatas merupakan bentuk persamaan kuadrat dengan :[tex]a=m^2+1[/tex][tex]b=-2(m^2+m+5)[/tex][tex]c=m^2+2m+22[/tex]. Syarat garis dan lingkaran berpotongan adalah D = 0[tex]b^2-4ac=0[/tex][tex][-2(m^2+m+5)^2]-4(m^2+1)(m^2+2m+22)=0[/tex][tex]4(m^2+m+5)^2-4(m^2+1)(m^2+2m+22)=0[/tex][tex](m^2+m+5)^2-(m^2+1)(m^2+2m+22)=0[/tex][tex](m^2+m)^2+10(m^2+m)+25-(m^4+2m^3+22m^2+m^2+2m+22)=0[/tex][tex]m^4+2m^3+m^2+10m^2+10m+25-m^4-2m^3-22m^2-m^2-2m-22=0[/tex][tex]-12m^2+8m+3=0[/tex][tex]12m^2-8m-3=0[/tex].Untuk mencari nilai m kita gunakan rumus ABC.[tex]m_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex][tex]m_{1,2}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4(12(-3)}}{2(12)}[/tex][tex]m_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{208}}{24}[/tex][tex]m_{1,2}=\frac{8\pm4\sqrt{13}}{24}[/tex][tex]m_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{13}}{6}[/tex].[tex]m_1=\frac{2+\sqrt{13}}{6}[/tex][tex]m_2=\frac{2-\sqrt{13}}{6}[/tex] .Diperoleh 2 nilai gradien. Kita substitusikan nilai gradien tersebut ke persamaan garis singgungnya.Untuk [tex]m=\frac{2+\sqrt{13}}{6}[/tex] :[tex]y=m(x-1)+2[/tex][tex]y=\frac{2+\sqrt{13}}{6}(x-1)+2[/tex].Untuk [tex]m=\frac{2-\sqrt{13}}{6}[/tex] :[tex]y=m(x-1)+2[/tex][tex]y=\frac{2-\sqrt{13}}{6}(x-1)+2[/tex].KESIMPULANPersamaan garis singgung lingkaran [tex](x-5)^2+(y-3)^2=4[/tex] di titik (1,2) adalah [tex]\boldsymbol{y=\frac{2+\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}[/tex] atau [tex]\boldsymbol{y=\frac{2-\sqrt{13}}{6}(x-1)+2}[/tex]..PELAJARI LEBIH LANJUTPGS dari titik di luar lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/29594472PGS dari titik di luar lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/27697087PGS lingkaran dengan gradien tertentu : https://brainly.co.id/tugas/29521145.DETAIL JAWABANKelas : 11Mapel: MatematikaBab : LingkaranKode Kategorisasi: 11.2.5.1Kata Kunci : persamaan, lingkaran, garis, singgung, diskriminan.$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 17 Jul 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah