Tentukan Persamaan Diferensial Non Linier...mohon bantuannya kak

Berikut ini adalah pertanyaan dari rivki2327 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}y=\left\{\begin{aligned}\dfrac{1}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\\\dfrac{i}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\\-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\\-\dfrac{i}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\end{aligned}\right.\end{aligned}$
dengan $i=\sqrt{-1}$ dan $C$ konstanta.
 

Pembahasan

Persamaan Diferensial Non-Linier

$\begin{aligned}&y'+xy^5=0\\&\Rightarrow y'=-xy^5\\&\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-xy^5\,dx\\&\Rightarrow \frac{1}{y^5}\,dy=-x\,dx\\\end{aligned}$

Selanjutnya, kita selesaikan dengan integral variabel terpisah. Kedua ruas diintegralkan.

$\begin{aligned}&\int\frac{1}{y^5}\,dy=\int -x\,dx\\&\Rightarrow\int y^{-5}\,dy=-\int x\,dx\\&\Rightarrow-\frac{y^{-4}}{4}=-\frac{x^2}{2}\ \Rightarrow y^{-4}=2x^2\\&\Rightarrow\frac{1}{y^4}=2x^2+C\\&\Rightarrow y^4=\frac{1}{2x^2+C}\\&\Rightarrow y={}\pm\sqrt[4]{\frac{1}{2x^2+C}}\\\end{aligned}$

Perhatikan bahwa pangkat akarnya adalah 4.
$\sqrt[4]{1} = {}\pm1$ , atau $\sqrt[4]{1} = {}\pm i$ , dengan bilangan imajiner $i=\sqrt{-1}$ .

Sehingga,

$\therefore\ \begin{aligned}y=\left\{\begin{aligned}\dfrac{1}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\\\dfrac{i}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\\-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\\-\dfrac{i}{\sqrt[4]{2x^2+C}}\end{aligned}\right.\end{aligned}$
dengan $i=\sqrt{-1}$ dan $C$ konstanta.