BAB ; Eksponen Tentukan nilai x dan y dari persamaan

Berikut ini adalah pertanyaan dari Anthology pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

BAB ; EksponenTentukan nilai x dan y dari persamaan ekspone berikut dengan menggunakan cara dan penyelesaian yang jelas!

Pertanyaan nomor #1
$\huge \tt \sqrt{32 {}^{6x + 2} } = \sqrt[]{ {9}^{15x + 5} } \\$
Pertanyaan nomor #2
$\huge \: \tt{2}^{y} + {8}^{y} =520 \\$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}\sf\#1.\quad&x=\bf{-}\frac{1}{3}\\\sf\#2.\quad&y=\bf3\end{aligned}$

Pembahasan

Eksponen

Nomor #1

$\large\text{$\begin{aligned}&\sqrt{32^{6x+2}}=\sqrt{9^{15x+5}}\\&{\rightsquigarrow\ }32^{\frac{6x+2}{2}}=9^{\frac{15x+5}{2}}\\&{\rightsquigarrow\ }32^{3x+1}=3^{\left(\cancel{2}\times\frac{15x+5}{\cancel{2}}\right)}\\&{\rightsquigarrow\ }2^{5(3x+1)}=3^{15x+5}\\&{\rightsquigarrow\ }2^{15x+5}=3^{15x+5}\\&{\rightsquigarrow\ }\left(\frac{2}{3}\right)^{15x+5}=1\\&{\rightsquigarrow\ }\left(\frac{2}{3}\right)^{15x+5}=\left(\frac{2}{3}\right)^0\\&{\rightsquigarrow\ }15x+5=0\end{aligned}$}$
$\large\text{$\begin{aligned}&{\rightsquigarrow\ }x=-\frac{5}{15}\\&{\therefore\ \ }x=\boxed{\ \bf{-}\frac{1}{3}\ }\end{aligned}$}$

$\blacksquare$

Pemeriksaan

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt{32^{\left(6\left(-\frac{1}{3}\right)+2\right)}}&=\sqrt{9^{\left(15\left(-\frac{1}{3}\right)+5\right)}}\\\sqrt{32^0}&=\sqrt{9^0}\\\sqrt{1}&=\sqrt{1}\\\rightsquigarrow&\ \sf benar!\end{aligned}$}$

____________________

Nomor #2

$\begin{aligned}&2^y+8^y=520\\&{\rightsquigarrow\ }2^y+\left(2^3\right)^y=520\\&{\rightsquigarrow\ }2^y+\left(2^y\right)^3=520\\&{\sf Ambil\ }u=2^y:\\&{\rightsquigarrow\ }u+u^3=520\\&{\rightsquigarrow\ }u^3+u-520=0\\\end{aligned}$

Faktor dari 520 adalah ± (1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 20, 26, 40, 52, 65, 104, 130, 260, 520).
Faktor pertama yang memenuhi $u^3+u-520=0$ adalah8. Maka, faktorkan terhadap $(x-8)$ .

$\begin{aligned}(i)&:u^3+u-520=0\\&{\rightsquigarrow\ }(u-8)(u^2)+8u^2+u-520=0\\&{\rightsquigarrow\ }(u-8)(u^2+8)+65u-520=0\\&{\rightsquigarrow\ }(u-8)(u^2+8u+65)=0\\&{\rightsquigarrow\ }u={\bf8}\ \lor\ u^2+8u+65=0\\\end{aligned}$

Pada $u^2+8+65=0$ , $b^2 < 4ac$ , dan ini menyebabkan nilai diskriminannya negatif. Akibatnya, jenis akar-akar dari $u^2+8+65=0$ adalah imajiner, sehingga bukan merupakan solusi.