18. Persamaan lingkaran yang pusatnya (a, b) menyinggung garis 2x

Berikut ini adalah pertanyaan dari valenjutawan pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

18. Persamaan lingkaran yang pusatnya (a, b) menyinggung garis 2x + y = 9dititik (3,3) serta melalui titik (2,4) adalah ...
a. (x - 1)² +(y-2)² = 5
b. (x+1)² +(y+ 2)² = 45
c. (x-1)²+(y-2)² = 25
d. (x+1)² +(y-2)² = 17
e. (x-1)² +(y+2)² = 37

pliss bantu yang bener caranya yang lengkap

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dimisalkan :

Persamaan lingkaran : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$

Diketahui : lingkaran menyinggung garis : $2x+y=9$ di titik $(3~,~3)$ , artinya lingkaran tersebut melalui titik $(3~,~3)$ , maka substitusikan titik $(3~,~3)$ ke dalam persamaan lingkaran :

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$

$(3)^2-2a(3)+a^2+(3)^2-2b(3)+b^2=r^2$

$9-6a+a^2+9-6b+b^2=r^2$

$18-6a+a^2-6b+b^2=r^2~...~(~i~)$

Diketahui : lingkaran melalui titik $(2~,~4)$ , maka substitusikan titik $(2~,~4)$ ke dalam persamaan lingkaran :

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$

$(2)^2-2a(2)+a^2+(4)^2-2b(4)+b^2=r^2$

$4-4a+a^2+16-8b+b^2=r^2$

$20-4a+a^2-8b+b^2=r^2~...~(~ii~)$

$(~i~)-(~ii~)~:$

$18-6a+a^2-6b+b^2=r^2$

$20-4a+a^2-8b+b^2=r^2$

______________________ $-$

$-2-2a+2b=0$

$2b=2a+2$

$\huge{b=a+1}$ $~...~(~iii~)$

Diketahui garis $2x+y=9$ menyinggung lingkaran tersebut.

$y=-2x+9$

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

INGAT :

$\boxed{\boxed{\text{Garis}~y=mx+c\to \text{Gradien}=m}}$

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Didapatkan : gradien garis $y=-2x+9$ $\to m=-2$

Sifat garis singgung lingkaran adalah selalu tegak lurus dengan diameter lingkaran. Perkalian dari gradien 2 buah garis yang saling tegak lurus bernilai $-1$ , maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis $y=-2x+9$ adalah $m=-1\div -2=\frac{1}{2}$ .

Persamaan garis yang mempunyai gradien $m=\frac{1}{2}$ dan melalui titik $(3~,~3)$ adalah :

$y-3=\frac{1}{2}(x-3)$

« kalikan kedua ruas dengan 2 »

$2y-6=x-3$

$2y=x+3$

Karena diameter lingkaran dilalui oleh garis $2y=x+3$ , maka koordinat titik pusat $(a~,~b)$ juga dilalui oleh garis $2y=x+3$ , maka substitusikan titik $(a~,~b)$ ke dalam persamaan garis $2y=x+3$ :