MATEMATIKABerikan langkah pengerjaannya!

Berikut ini adalah pertanyaan dari STUDY2202 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

MATEMATIKA

Berikan langkah pengerjaannya!
MATEMATIKABerikan langkah pengerjaannya!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Himpunan penyelesaian dari persamaan : } \: \: 2 \: { \sin }^{2}(x) + \sin(x) = 0 \\ \\ \text{adalah} \: \: \{ {0}^{ \circ} , 180^{\circ} , 210^{\circ} , 330^{\circ} , 360^{\circ} \} \: . \\$

Pembahasan

Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan sisi dan sudut pada suatu segitiga.

Nilai sinus pada sudut berelasi

$\sin(\pi - x) = \sin(x) \\ \\ \sin(\pi + x) = - \sin(x) \\ \\ \sin(2\pi - x) = - \sin(x) \\ \\$

Diketahui :

Persamaan trigonometri

$2 \: { \sin }^{2}(x) + \sin(x) = 0 \\ \\$

Ditanya :

$\text{Himpunan penyelesaian dari persamaan : } \: \: 2 \: { \sin }^{2}(x) + \sin(x) = 0 \\ \\$

Jawab :

$\: \: \: \: \: 2 \: { \sin }^{2}(x) + \sin(x) = 0 \\ \\ \sin(x) \left (2 \sin(x) + 1 \right ) = 0 \\ \\ \sin(x) = 0 \: \: \: \text{atau} \: \: \: 2 \sin(x) + 1 = 0 \\ \\ \boxed{\sin(x) = 0} \: \: \: \text{atau} \: \: \: \boxed{ \sin(x) = - \frac{1}{2}} \\ \\$

Jika persamaan trigonometri tersebut terdefinisi pada selang interval : ${0}^{ \circ} \leqslant x \leqslant {360}^{ \circ} \: \: \: \text{maka} \\ \\ \sin(x) = 0 \\ \\ \sin(x) = \sin( {0}^{ \circ} + 2\pi \cdot k) \: \: \: , \: \: \: k = 0, 1, 2, \cdots \\ \\ x = {0}^{ \circ} + 2\pi \cdot k \\ \\ \text{untuk} \: \: k = 0 \: \Rightarrow \: \boxed{x = {0}^{ \circ}} \\ \\ \text{untuk} \: \: k = 1 \: \Rightarrow \: \boxed{x = {360}^{ \circ}} \\ \\$

$\sin(x) = 0 \\ \\ \sin(x) = \sin( {180}^{ \circ} + 2\pi \cdot k) \: \: \: , \: \: \: k = 0, 1, 2, \cdots \\ \\ x = {180}^{ \circ} + 2\pi \cdot k \\ \\ \text{untuk} \: \: k = 0 \: \Rightarrow \: \boxed{x = {180}^{ \circ}} \\ \\ \text{untuk} \: \: k = 1 \: \Rightarrow \: \boxed{x = {540}^{ \circ}} \: \: \: \: ( \text{tidak memenuhi}) \: . \\ \\$

$\sin(x) = - \frac{1}{2} \\ \\ \sin(x) = \sin( {210}^{ \circ} + 2\pi \cdot k) \: \: \: , \: \: \: k = 0, 1, 2, \cdots \\ \\ x = {210}^{ \circ} + 2\pi \cdot k \\ \\ \text{untuk} \: \: k = 0 \: \Rightarrow \: \boxed{x = {210}^{ \circ}} \\ \\$

$\sin(x) = - \frac{1}{2} \\ \\ \sin(x) = \sin( {330}^{ \circ} + 2\pi \cdot k) \: \: \: , \: \: \: k = 0, 1, 2, \cdots \\ \\ x = {330}^{ \circ} + 2\pi \cdot k \\ \\ \text{untuk} \: \: k = 0 \: \Rightarrow \: \boxed{x = {330}^{ \circ}} \\ \\$

Himpunan Penyelesaian (HP)

$\text{HP} = \{ {0}^{ \circ} , 180^{\circ} , 210^{\circ} , 330^{\circ} , 360^{\circ} \} \\ \\$

Kesimpulan :

$\text{Himpunan penyelesaian dari persamaan : } \: \: 2 \: { \sin }^{2}(x) + \sin(x) = 0 \\ \\ \text{adalah} \: \: \{ {0}^{ \circ} , 180^{\circ} , 210^{\circ} , 330^{\circ} , 360^{\circ} \} \: . \\ \\$