induksi matematik

1. base case (langkah dasar)

fungsinya untuk menentukan apakah pernyataan bisa dibuktikan atau tidak.

diketahui: n = bilangan bulat tidak negatif, berarti n = 0,1,2,3,....

dalam langkah dasar, kita harus bisa membuktikan bahwa pernyataan benar untuk n = angka awal, dimana n = 0.

(tulis bagian yang n saja)

2^n = 2^(n+1) - 1

2⁰ = 2⁰+¹ - 1

1 = 2¹-1

1 = 1 ✓

kalo benar maka lanjut ke langkah 2 dan 3.

2. induction hypothesis (hipotesis induksi)

kita anggap pernyataan benar untuk n = k.

(tulis ulang pernyataan tapi n diganti dengan k)

2¹+2²+...+2^k = 2^(k+1) - 1

3. induction step (langkah induksi)

fungsinya untuk membuktikan hipotesis yang kita buat di langkah 2. caranya kita harus menunjukkan bahwa apabila n = k+1, maka pernyataannya benar.

(tulis ulang pernyataan tapi n diganti dengan k+1)

2¹+2²+...+2^(k+1) = 2^((k+1)+1) - 1

2¹+2²+...+2^k + 2^(k+1) = 2^((k+1)+1) - 1

masukkan hipotesis ke pernyataan.

(2^(k+1) - 1) + 2^(k+1) = 2^((k+1)+1) - 1

ingat:

2^a + 2^a = 2×2^a

berarti,

2^(k+1) + 2^(k+1) = 2×2^(k+1)

maka, didapat:

2×2^(k+1) - 1 = 2^((k+1)+1) - 1

sifat eksponen:

2^((k+1)+1) - 1 = 2^((k+1)+1) - 1

karena ruas kiri dan kanan sama, maka pernyataan terbukti benar dengan induksi matematik.