Suatu suku banyak f(x) dibagi (x-1) sisa 2 dan dibagi (x-2) sisa 3. suku banyak g(x) dibagi (x-1) sisa 5 dan dibagi (x-2) sisa 4. jika h(x)=f(x) g(x) carilah sisa pembagian h(x) oleh (x^2 - 3x + 2)!

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Suku Banyak
Kata Kunci : suku banyak, pembagi, hasil bagi, sisa

Pembahasan :
Suku banyak atau polinomial p dalam k berderajat n memiliki bentuk umum :
a(n)xⁿ + a(n - 1)xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀
dengan a(n), a(n - 1), ..., a₂, a₁, a₀ merupakan konstanta real;
a(n) koefisien xⁿ, a(n - 1) koefisien xⁿ⁻¹, dan seterusnya
a₀ merupakan suku tetap
n merupakan bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Misalnya suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisanya S(x) maka diperoleh hubungan
f(x) = P(x) . H(x) + S(x)
Jika f(x) merupakan suku banyak berderajat n dan P(x) merupakan pembagi berderajat m dengan m ≤ n maka
1. H(x) adalah hasil bagi berderajat n - m
2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m - 1).

Penerapan teorema sisa dapat dikembangkan untuk menentukan sisa pada pembagian suku banyak dengan suku banyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear.

Mari kita lihat soal tersebut.
Diketahui suku banyak f(x) dibagi (x - 1) sisa 2 dan suku banyak f(x) dibagi (x - 2) sisa 3.
Kemudian, suku banyak g(x) dibagi (x - 1) sisa 5 dan suku banyak g(x) dibagi (x - 2) sisa 4.
Suku banyak h(x) = f(x) . g(x) dibagi dengan x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1).

Oleh karena pembagi (x - 2)(x - 1) berderajat dua, maka sisanya maksimum berderajat satu.
Misalnya pembagi P(x) = (x - 2)(x - 1), sisa S(x) = ax + b dan hasil bagi H(x), maka
h(x) = P(x) . H(x) + S(x)
h(x) = (x - 2)(x - 1) H(x) + ax + b
f(x) . g(x) = (x - 2)(x - 1) H(x) + ax + b
Kita substitusikan x = 2 dan sisa S(2) = 3 . 4 = 12
h(2) = f(2) . g(2) = 2a + b = 12 ... (1)
Kita substitusikan x = 1 dan sisa S(1) = 2 . 5 = 10
h(1) = f(1) . g(1) = a + b = 10 ... (2)
Kedua persamaan kita selesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh
2a + b = 12
a + b = 10
__________-
⇔ a = 2
Kita substitusikan a = 2 ke persamaan (2), diperoleh
a + b = 10
⇔ b = 10 - a
⇔ b = 10 - 2
⇔ b = 8
S(x) = 2x + 8.
Jadi, suku banyak f(x) dibagi (x - 1) sisa 2 dan suku banyak f(x) dibagi (x - 2) sisa 3, suku banyak g(x) dibagi (x - 1) sisa 5 dan suku banyak g(x) dibagi (x - 2) sisa 4, serta suku banyak h(x) = f(x) . g(x) dibagi dengan x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)
diperoleh sisa pembagian 2x + 8.

Semangat!