aplikasi integral menentukan panjang busur lingkaran x^2 + y^2 =

Berikut ini adalah pertanyaan dari shitocharmandho pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Aplikasi integral menentukan panjang busur lingkaran x^2 + y^2 = 9

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Panjang busur lingkaran penuh $x^2+y^2=9$ adalah6π satuan panjang.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung panjang busur kurva dari titik a ke titik b, dimana panjang busur S dapat dicari dengan rumus :

$S=\int\limits^b_a {\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \, dx$

DIKETAHUI

Persamaan lingkaran $x^2+y^2=9$

DITANYA

Tentukan panjang busur lingkaran

PENYELESAIAN

Karena tidak diberi batas, maka kita akan menghitung panjang busur lingkaran penuh.

$x^2+y^2=9\\\\y^2=9-x^2\\\\y=\pm\sqrt{9-x^2}\\\\\frac{dy}{dx}=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}\\\\\frac{dy}{dx}=\pm\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

Mari kita hitung panjang busurnya.

Karena jari jari lingkaran = 9 maka batas - batasnya adalah x = -3 dan x = 3

Disini kita akan menghitung 2 buah panjang kurva, yaitu :

$y=\sqrt{9-x^2}~dan~y=-\sqrt{9-x^2}$

$S=S_1+S_2\\\\S=\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \, dx+\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \, dx\\\\S=\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+(\frac{x}{\sqrt{9-x^2}})^2}} \, dx+\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}})^2}} \, dx\\\\S=\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+\frac{x^2}{9-x^2}}} \, dx+\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+\frac{x}{9-x^2}}} \, dx\\\\S=2\int\limits^3_{-3} {\sqrt{1+\frac{x^2}{9-x^2}}} \, dx\\\\S=2(2\int\limits^3_0 {\sqrt{1+\frac{x^2}{9-x^2}}} \, dx)~\to~fungsi~genap\\$

$\\S=4\int\limits^3_0 {\sqrt{\frac{9-x^2+x^2}{9-x^2}}} \, dx\\\\S=4\int\limits^3_0 {\sqrt{\frac{9}{9-x^2}}} \, dx\\\\S=4\int\limits^3_0 {{\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}}} \, dx\\\\~~~~~~~~~~~~misal~sin\theta=\frac{x}{3}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3sin\theta=x\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~3cos\theta d\theta=dx\\\\S=12\int\limits^3_0 {{\frac{1}{\sqrt{9-(3sin\theta)^2}}}} \, 3cos\theta d\theta\\\\S=12\int\limits^3_0 {{\frac{3cos\theta}{\sqrt{9(1-sin^2\theta)}}}} \, d\theta\\$

$\\S=12\int\limits^3_0 {{\frac{3cos\theta}{\sqrt{9cos^2\theta}}}} \, d\theta\\\\S=12\int\limits^3_0 {{\frac{3cos\theta}{3cos\theta}}} \, d\theta\\\\S=12\int\limits^3_0 {} \, d\theta\\\\S=12\theta|^3_0\\\\S=12arcsin(\frac{x}{3})|^3_0\\\\S=12[arcsin(\frac{3}{3})-arcsin(\frac{0}{3})]\\\\S=12[arcsin1-arcsin0]\\\\S=12(\frac{\pi}{2})\\\\S=6\pi~satuan~panjang\\$