Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Jika diketahui dua buah vektor

u = u₁i + u₂j + u₃k ⇒ |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²)

v = v₁i + v₂j + v₃k ⇒ |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

u . v = u₁ . v₁ + u₂ . v₂ + u₃ . v₃

u . v = |u| . |v| . cos α dengan α sudut antara vektor u dan vektor v

Proyeksi skalar (panjang proyeksi ortogonal) vektor u pada vektor v

= |\frac{u . v}{|v|}

∣v∣

u.v

|

Proyeksi ortogonal vektor u pada vektor v

= \frac{u . v}{|v|^{2}}.v

∣v∣

2

u.v

.v

Pembahasan

Diketahui

p = i – j + 2k

q = 2i – 2j + nk

Panjang proyeksi vektor p pada q = 2

Ditanyakan

n = ... ?

Jawab

p . q = 1(2) + (–1)(–2) + 2n

p . q = 2 + 2 + 2n

p . q = 4 + 2n

|q| = √(2² + (–2)² + n²)

|q| = √(4 + 4 + n²)

|q| = √(8 + n²)

Panjang proyeksi vektor p pada q = 2

\frac{p . q}{|q|} = 2

∣q∣

p.q

=2

\frac{4 + 2n}{\sqrt{8+n^{2}}} = 2

8+n

2

4+2n

=2

(4 + 2n) = 2√(8 + n²)

2(2 + n) = 2√(8 + n²)

(2 + n) = √(8 + n²)

Kedua ruas dikuadratkan

(2 + n)² = 8 + n²

4 + 4n + n² = 8 + n²

4n = 8 – 4

4n = 4

n = 1