lim x->1[tex] \frac{ \sqrt[3]{ {x}^{2} - 2 \sqrt[3]{x} + 1

Berikut ini adalah pertanyaan dari realflorien pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Lim x->1 $\frac{ \sqrt[3]{ {x}^{2} - 2 \sqrt[3]{x} + 1 } }{(x - 1) ^{2} } =$
(soal yg benar pada lampiran)
$lim x->1[tex] \frac{ \sqrt[3]{ {x}^{2} - 2 \sqrt[3]{x} + 1 } }{(x - 1) ^{2} } = [/tex] (soal yg benar pada lampiran)$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}$ adalah $\boldsymbol{(E)~\frac{1}{9}}~$ .

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty}$ maka harus dilakukanmanipulasi aljabaratau menggunakanaturan l'hospital. Dengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0$

DIKETAHUI

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=$

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

PENYELESAIAN

Kita cek dahulu menggunakan substitusi langsung.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=\frac{\sqrt[3]{1^2}-2\sqrt[3]{1}+1}{(1-1)^2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=\frac{0}{0}$

Karena subsitusi langsung hasilnya $\frac{0}{0}$ , maka kita gunakan l'hospital.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}\left ( \sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1 \right )}{\frac{d}{dx}(x-1)^2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}\left ( x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}+1 \right )}{\frac{d}{dx}(x-1)^2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{(\frac{2}{3}-1)}-2(\frac{1}{3})x^{(\frac{1}{3}-1)}+0}{2(x-1)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{2(x-1)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=\frac{\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{2}{3}}}{2(1-1)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=\frac{0}{0}$

Karena hasilnya masih $\frac{0}{0}$ maka kita gunakan l'hospital lagi.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}\left ( \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} \right )}{\frac{d}{dx}[2(x-1)]}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3}(-\frac{1}{3}) x^{(-\frac{1}{3}-1)}-\frac{2}{3}(-\frac{2}{3})x^{(-\frac{2}{3}-1)}}{2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{2}\lim_{x \to 1} \left ( -\frac{2}{9}x^{-\frac{4}{3}}+\frac{4}{9}x^{-\frac{5}{3}} \right )$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{2}\left [ -\frac{2}{9}(1)^{-\frac{4}{3}}+\frac{4}{9}(1)^{-\frac{5}{3}} \right ]$