Kategori Soal : Matematika - Program Linear

Kelas : XI (2 SMA)

Pembahasan :

Halo, saya akan menjawab dengan dua cara, yaitu dengan cara pendek untuk jawaban pastinya dan cara panjang untuk jawaban yang disertai penjelasan lengkap.

Jawaban dengan cara singkat

Perhatikan gambar terlampir.

Diketahui sistem pertidaksamaan linear

4x + y ≥ 12

2x + y ≤ 12

x - 2y ≤ -6

x ≥ 0

y ≥ 0

Untuk menentukan titik potong dari sistem pertidaksamaan linear tersebut, kita ubah dahulu menjadi sistem persamaan linear

4x + y = 12 ... (1)

2x + y = 12 ... (2)

x - 2y = -6 ... (3)

Persamaan (1) dan (2) kita eliminasi y, diperoleh

4x + y = 12

2x + y = 12

_________-

⇔ 2x = 0

⇔ x = 0

Kita substitusikan x = 0 ke persamaan

2x + y = 12

⇔ 2.0 + y = 12

⇔ y = 12

Jadi, titik potong sistem persamaan (1) dan (2) adalah (0, 12).

Persamaan (1) dan (3) kita eliminasi y, diperoleh

4x + y = 12 |.2|

x - 2y = -6 |.1|

8x + 2y = 24

x - 2y = -6

___________+

⇔ 9x = 18

⇔ x = 2

Kita substitusikan x = 2 ke persamaan (3), diperoleh

x - 2y = -6

⇔ -2y = -6 - x

⇔ -2y = -6 - 2

⇔ -2y = -8

⇔ y = 4

Jadi, titik potong sistem persamaan (1) dan (3) adalah (2, 4).

Persamaan (2) dan (3) kita eliminasi y, diperoleh

2x + y = 12 |.2|

x - 2y = -6 |.1|

4x + 2y = 24

x - 2y = -6

__________+

⇔ 5x = 18

⇔ x = 18/5

Kita substitusikan x = 18/5 ke persamaan (3), diperoleh

x - 2y = -6

⇔ -2y = -6 - x

⇔ -2y = -6 - 18/5

⇔ -2y = -30/5 - 18/5

⇔ -2y = -48/5

⇔ y = -48/(-10)

⇔ y = 48/10

⇔ y = 24/5

Jadi, titik potong sistem persamaan (2) dan (3) adalah (18/5, 24/5).

Ketiga titik tersebut kita substitusikan ke fungsi f(x, y) = x + y, diperoleh

(0, 12) → 0 + 12 = 12

(2, 4) → 2 + 4 = 6

(18/5, 24/5) → 18/5 + 24/5 = 42/5 = 8,4

Jadi, nilai minimum fungsi f(x, y) = x + y adalah 6 pada titik (2, 4).

Jawaban dengan cara panjang

Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.

Kita sudah menentukan nilai minimum dari fungsi f(x, y) = x + y dengan menggunakan metode uji titik pojok pada jawaban dengan cara pendek.

Sekarang, kita menentukan nilai minimum dari fungsi f(x, y) = x + y dengan menggunakan metode garis selidik.

1. Gambar garis f(x, y) = 0 ⇔ x + y = 0.

2. Geser garis ini untuk mendapatkan pita c₁ ≤ f(x, y) ≤ c₂.

Hasilnya adalah f(x, y) harus digeser dari titik (2, 4) ke titik (0, 12), yaitu 6 ≤ f(x, y) ≤ 12

3. Nilai minimum f(x, y) = x + y tercapai di titik (2, 4) dengan f(x, y) = 6 dan nilai maksimum f(x, y) = x + y tercapai di titik (0, 12) dengan f(x, y) = 12.

Semangat Belajar!