pertanyaan tentang trigonometri kelas XI, plis jawab

Berikut ini adalah pertanyaan dari khayrizkznp52nd8 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pertanyaan tentang trigonometri kelas XI, plis jawab

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab: Identitas trigonometri
$\displaystyle\tan^2\left ( \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\alpha \right )=\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}$
terbukti benar.
 

Pembahasan

Trigonometri

Diberikan identitas trigonometri:

$\large\text{$\begin{aligned}\tan^2\left ( \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\alpha \right )=\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\end{aligned}$}$

Pembuktian

$\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\tan^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\alpha\right)\\&{=\ }\frac{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\alpha\right)}{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\alpha\right)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\ \left[\ \begin{aligned}&\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\\&\Rightarrow \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}\\&\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\\&\Rightarrow \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}\\&\therefore\ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}\end{aligned}\ \right]\\&{=\ }\frac{1-\cos\left[2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\alpha\right)\right]}{1+\cos\left[2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\alpha\right)\right]}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\\\end{aligned}\ \right]\\&{=\ }\boxed{\:\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\:}=\textsf{Ruas kanan}\\&{\implies} \sf TERBUKTI\ \blacksquare\end{aligned}$