Carilah daerah hasil (range) dari fungsi kuadrat y = -2x²

Berikut ini adalah pertanyaan dari sffnhsla pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Carilah daerah hasil (range) dari fungsi kuadrat y = -2x² + 8x + 5 dengan daerah asal (domain) Dy = {x | -3 <_ x <_ 1}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$R_{f} = \{ \: y \: \vert - 37 \leqslant y \leqslant 11 \: \} \\$

Pembahasan

Fungsi adalah pemetaan setiap anggota pada suatu himpunan ke anggota himpunan yang lain dengan aturan tertentu dan dapat dinyatakan dengan lambang atau notasi.

Daerah asalsuatu himpunan disebutdomain (daerah asal), sedangkan daerah pasangan atau bayangan dari himpunan tersebut adalah kodomain (daerah kawan). Daerah yang memuat hasil pemetaan atau bayangandisebutrange (daerah hasil).

Diketahui :

$\text{Fungsi kuadrat} \: \, y = - 2x^{2} + 8x + 5 \\ \\ \text{Domain} \: \: y \: \: ( D_{f} ) = \{ \: x \: \vert \: - 3 \leqslant x \leqslant 1 \: \} \\ \\$

Ditanya :

$\text{Daerah hasil} \: \: (R_{f}) \\ \\$

Jawab :

Untuk menentukan daerah hasil atau range dari fungsi kuadrat :

$\text{Misal} \: \: y = f(x) = - 2 {x}^{2} + 8x + 5 \: \: \: \text{dengan} \: \: D_{f} = \{ \: x \: \vert \: - 3 \leqslant x \leqslant 1 \: \} \\ \\$

dengan cara menentukan nilai batas dari hasil substitusi daerah asal fungsi tersebut, yaitu :

$\: \: \: \: \: f( - 3) \\ \\ = - 2 \cdot {( - 3)}^{2} + 8( - 3) + 5 \\ \\ = - 2 \cdot 9 + 8 \cdot ( - 3) + 5 \\ \\ = - 18 - 24 + 5 \\ \\ = - 42 + 5 \\ \\ = - 37 \\ \\$

$\: \: \: \: \: f( - 2) \\ \\ = - 2 \cdot {( - 2)}^{2} + 8( - 2) + 5 \\ \\ = - 2 \cdot 4 + 8 \cdot ( - 2) + 5 \\ \\ = - 8 - 16 + 5 \\ \\ = - 24 + 5 \\ \\ = - 19 \\ \\$

$\: \: \: \: \: f( - 1) \\ \\ = - 2 \cdot {( - 1)}^{2} + 8( - 1) + 5 \\ \\ = - 2 \cdot 1 + 8 \cdot ( - 1) + 5 \\ \\ = - 2 - 8 + 5 \\ \\ = - 10 + 5 \\ \\ = - 5 \\ \\$