Diketahui f: R→ R dang: R → R dengan f(x)

Berikut ini adalah pertanyaan dari aisyahhanief190405 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui f: R→ R dang: R → R dengan f(x) = 2x - 3 dan g(x) = x+5/x-3. Fungsi (f • g)-¹(x) =​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

 (f \circ g)^{-1}(x) \: = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\

PEMBAHASAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep komposisi dan invers fungsi.

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi oleh dua atau lebih fungsi yang bertujuan untuk membentuk satu fungsi baru.

 (f \circ g)(x) = f(g(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: g \: \text{ pada fungsi } \: f \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: f \: \text{ pada fungsi } \: g \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\

Invers fungsi adalah balikan dari suatu fungsi. Dengan kata lain, invers fungsi adalah balikan dalam bentuk fungsi.

 \text{Misal } \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(y) \: \: . \\ \\ \boxed{(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)} \\ \\ \boxed{(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)} \\ \\

DIKETAHUI :

 f \:: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: \text{ dan } \: g\:: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: \text{ dengan } \\ \\ f(x) = 2x-3 \: \text{ dan } \: g(x) = \frac{x+5}{x-3} \: \quad \:, \: \: x\neq 3 \: \:. \\ \\

DITANYA :

 (f \circ g)^{-1}(x) \: \:. \\ \\

JAWAB :

Cara 1 :

Menentukan invers dari fungsi  f \: \text{ dan } \: g masing-masing. Kemudian bentuk komposisi fungsi yang sesuai.

 \text{Misal } \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(y) \: \: . \\ \\

 \begin{aligned} f(x) & \: = 2x-3 \\ \\ y \: & = 2x-3 \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 2x-3 \: & = y \\ \\ 2x \: & = y+3 \\ \\ x \: & = \frac{1}{2}(y+3) \\ \\ f^{-1}(y) \: & = \frac{1}{2}(y+3) \\ \\ f^{-1}(x) \: & = \frac{1}{2}(x+3) \\ \\ f^{-1}(x) \: & = \frac{x+3}{2} \\ \\ \end{aligned}

 \text{Misal } \: k = g(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = g^{-1}(k) \: \: . \\ \\

 \begin{aligned} g(x) & \: = \frac{x+5}{x-3} \\ \\ k \: & = \frac{x+5}{x-3} \\ \\ k(x-3) \: & = x+5 \\ \\ kx-3k \: & = x+5 \\ \\ kx-x \: & = 3k+5 \\ \\ x(k-1) \: & = 3k+5 \\ \\ x \: & = \frac{3k+5}{k-1} \\ \\ g^{-1}(k) \: & = \frac{3k+5}{k-1} \\ \\ g^{-1}(x) \: & = \frac{3x+5}{x-1} \: \quad \:, \: x \neq 1 \\ \\ \end{aligned}

 \begin{aligned} (f \circ g)^{-1}(x) & \: = \left( g^{-1} \circ f^{-1} \right)(x) \\ \\ \: & = g^{-1} \left( f^{-1}(x) \right) \\ \\ \: & = g^{-1} \left( \frac{1}{2}(x+3) \right) \\ \\ \: & = \frac{3 \left( \frac{x+3}{2} \right) +5}{\left( \frac{x+3}{2} \right)-1} \\ \\ \: & = \frac{\frac{3(x+3)+10}{2}}{ \frac{x+3-2}{2} } \\ \\ \: & = \frac{\frac{3x+19}{2}}{ \frac{x+1}{2} } \\ \\ (f \circ g)^{-1}(x) \: & = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\ \end{aligned}

Cara 2 :

Menentukan komposisi fungsi  f \: \text{ dan } \: g masing-masing. Kemudian tentukan invers dari komposisi fungsi tersebut.

 \begin{aligned} (f \circ g)(x) & \: = f(g(x)) \\ \\ \: & = f \left( \frac{x+5}{x-3} \right) \\ \\ \: & = 2\left( \frac{x+5}{x-3} \right)-3 \\ \\ \: & = \frac{2(x+5)-3(x-3)}{x-3} \\ \\ \: & = \frac{-x+19}{x-3} \: \quad \:, \: x \neq 3 \\ \\ \end{aligned}

 \text{Misal } \: y = (f \circ g)(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = (f \circ g)^{-1}(y) \: \: . \\ \\

 \begin{aligned} (f \circ g)(x) & \: = \frac{-x+19}{x-3} \\ \\ y \: & = \frac{-x+19}{x-3} \\ \\ y(x-3) \: & = -x+19 \\ \\ xy-3y \: & = -x+19 \\ \\ xy+x \: & = 3y+19 \\ \\ x(y+1) \: & = 3y+19 \\ \\ x \: & = \frac{3y+19}{y+1} \\ \\ (f \circ g)^{-1}(y) \: & = \frac{3y+19}{y+1} \\ \\ (f \circ g)^{-1}(x) \: & = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\ \end{aligned}

KESIMPULAN :

 (f \circ g)^{-1}(x) \: = \frac{3x+19}{x+1} \: \quad \:, \: x\neq -1 \\ \\

PELAJARI LEBIH LANJUT  

Diketahui f(2m-1) = 6m+1. Rumus fungsi f(x) adalah

yomemimo.com/tugas/10462734

Komposisi fungsi

yomemimo.com/tugas/38906298

Tentukan (fog)-1 (x) jika f(x) = 2x - 3 dan g(x) = 1/(3x + 1)

yomemimo.com/tugas/1739921

Invers fungsi f

yomemimo.com/tugas/39253485

DETAIL JAWABAN    

Kelas : 10 SMA

Mapel : Matematika

Kategori : Bab 3 - Fungsi  

Kode Kategorisasi : 10.2.3

Kata Kunci : komposisi, invers, fungsi

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh cahyonosastrow354 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 30 Aug 22